Решение методом проекции

Задача 1

Дано. Два одинаковых цилиндра I весом  подвешены на нитях к точке  (рис. 2.7, а). Сверху на них положили цилиндр II весом , так что цилиндры I не касаются друг друга. Определить зависимость между углом , образованным нитью и вертикалью, и углом , образованным линией соединяющей центры цилиндров I и II, при которой система находится в равновесии.

 

Решение. Система, состоящая из нескольких тел, находится в равновесии. Значит, каждое из тел, входящее в систему, также находится в равновесии. Рассмотрим цилиндр II. Применяем к нему принцип освобождаемости от связей. Связями для него являются два нижних цилиндра. Так как контакт происходит через точку, то нормальные реакции будут пересекать центры цилиндров I и II (рис. 2.7, б). Получаем систему сходящихся сил в точке . Данную систему можно решать графическим способом, так как сил всего три, т. е. силовой многоугольник получается в виде треугольника, кроме того, в силу симметрии этот треугольник будет равнобедренным (рис. 2.7, в).

Из треугольника . т.е. . , . Теперь рассматриваем цилиндр I. Активной силой для этого цилиндра является его вес , а связями для него является цилиндр II и нить. Реакция связи со стороны цилиндра II будет по модулю равна , но направлена в обратную сторону (аксиома 4). Реакция нити  будет направлена вдоль самой нити.

В результате получаем, что цилиндр I находится в равновесии под действием трех сил: ,  и . Причем силы  и  пересекаются в точке , но тогда, по правилу трех сил, сила  также должна проходить через эту точку (рис. 2.8).

 

Решение системы, показанной на рис. 2.8, лучше вести аналитически, так как силовой треугольник получается произвольной формы.

 

, ,

, ,

.

    При выполнении последнего равенства система будет находиться в состоянии равновесия.

 

      Ответ: .

 

 

Задача 2

Горизонтальная балка, имеющая в точке А шарнирно-неподвижную опору, а в точке В – шарнирно-подвижную с опорной плоскостью, наклоненной под углом α=30° к горизонтали, нагружена в точке С вертикальной силой Р=50 кн (рис. а). Определить реакции опор.

 

Решение методом проекции

1. Кроме нагрузки Р, на балку действуют реакции двух шарнирных опор. Направление реакции шарнирно-подвижной опоры известно – оно образует с опорной плоскостью катка прямой угол. Значит R_B – реакция шарнира В, перпендикулярная к опорной плоскости катка, будет образовывать с балкой ВА угол, равный (90-α)°.

Покажем силы Р и R_B на расчетной схеме (рис. б). Так как направление этих сил известно, то точку пересечения их линий действия легко зафиксировать (точка D). Прямая AD определяет теперь направление реакции R_A неподвижного шарнира (теорема о равновесии трех непараллельных сил).

Реакция подвижного шарнира R_B=16,5 кн, реакция неподвижного шарнира R_A=36,6 кн; она наклонена к балке под углом β=77°.