Изучение законов вращательного движения на маятнике Обербека

 

Литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – 608 с.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике. Раздел: Механика материальной точки / МТИПП.‑ М., 1990. ‑ С. 2 – 13.

 

 Введение

    При вращательном движении все точки твердого тела двигаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (см. рис. 1; zz^/ - ось вращения).

 

 

Рис. 1                                                          Рис. 2

 

 

    Линейные кинематические параметры (S, , a) разных точек тела различны и зависят от расстояния каждой точки до оси вращения. Поэтому вводят такие кинематические параметры, которые одинаковы для всех точек тела и характеризуют вращательное движение всего тела: угловое перемещение j, угловая скорость w, угловое ускорение e.

    Угловой скоростью  называется векторная физическая величина, равная первой производной от углового перемещения по времени

              ,                                                   (1)

где   - вектор элементарного углового перемещения тела. По модулю он равен углу dj поворота тела вокруг оси за время dt и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: из конца вектора  поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки.

 

    Угловым ускорением  называется векторная физическая величина, равная первой производной от угловой скорости по времени

                                                       (2)

    Направление   зависит от вида движения: для равноускоренного движения направления   и  всегда совпадают, для равнозамедленного – они противоположены (на рис. 1. движение равноускоренное).

    Зависимость углового перемещения j от времени t называется уравнением вращательного движения:

 – равномерное вращение с постоянной угловой скоростью w;

– равнопеременное движение (3)

с постоянным угловым ускорением e.

 

 

Соотношение между модулями линейной и угловой скоростями легко устанавливается, если учесть, что , тогда

,                                       (4)

где dS – элементарная длина дуги.

    Аналогично устанавливаются соотношения для линейного тангенциального и углового ускорений:

                                   (5)

    Необходимо помнить, что вектор полного линейного ускорения   имеет еще одну составляющую – это нормальное или центростремительное ускорение , (см. рис. 2), и оно всегда направлено к центру окружности, против радиуса – вектора , поэтому

 

                                                  (6)

Промежуток времени   (7), в течение которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью w, совершает один оборот, т.е. поворачивается на угол j = 2 p, называется периодом вращения.

    Частота вращения показывает, сколько оборотов совершает за единицу времени тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью w:

                                                (8)

    Рассмотрим основные динамические величины, характеризующие вращательное движение.

    Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиуса – вектора , проведенного из точки О в точку N приложения силы F, на саму эту силу:

                                                (9)

Вектор  лежит в плоскости перпендикулярной плоскости, в которой лежат вектора   и . Его направление определяется по правилу правого винта (рис. 3).

 

Рис. 3                                                           Рис. 4

 

Рис. 3                                                   Рис. 4

Модуль момента силы , где  - плечо силы F, т.е. перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действия силы F.

    Моментом силы F относительно произвольной оси zz^/, проходящей через точку О, называется проекция на эту ось вектора момента силы .

    Инертные свойства вращающегося тела характеризуются моментом инерции. Моментом инерции   материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси

                                                 (10)

Моментом инерции тела относительно оси называется сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси

                                              (11)

    Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, равен , то момент инерции  относительно любой другой параллельной оси может быть вычислен на основании теоремы Штейнера (см. рис.4).

,                                             (12)

где d – расстояние между осями.

    Моментом импульса материальной точки N массой m относительно точки О () называется векторное произведение радиуса – вектора   на импульс  (рис. 5).

 

Рис. 5

 

 

                                             (13)

    Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора  и .

Модуль L_о определяется так:

,

где Ð a - угол между векторами r и р.

Направление  определяется по правилу правого винта.

    Момент импульса материальной точки  относительно произвольной оси zz^/, проходящей через точку О – это проекция на эту ось вектора .

Для материальной точки, движущейся по окружности относительно точки О, уравнение динамики имеет вид:

                                            (14)

Для тела, на которое действует несколько сил и которое вращается вокруг оси zz^/, основной закон динамики имеет вид:

                                          (15)

 

Описание установки

    Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырех стержней, расположенных под углом 90⁰ друг к другу и прикрепленных к втулке с горизонтальной осью вращения (рис. 6). На стержни надеваются одинаковые грузы массой m₁, которые могут быть закреплены на различных расстояниях от оси вращения. Два легких шкива с различными радиусами r₁ и r₂ насажаны на ось маятника. На шкив наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой m. Под действием груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение. Положение груза m определяется по вертикальной шкале.