Общая схема исследования функции и построения графика

Образец решения нулевого варианта контрольной работы №2

Задание 2. Вычислить пределы

а) при .

б) ; в) ;

Решение:

а) 1. имеем неопределенность типа , которую раскрывают путем разложения числителя и знаменателя на множители. С этой целью найдем корни квадратных трехчленов и разложим эти трехчлены на множители по формуле:

Подставим полученное разложение, тогда

а) 2.

Такие неопределенности раскрываются путем вынесения старшей степени переменной за скобки и последующего сокращения. Учитывая, дроби вида при , получим

б)

Чтобы раскрыть неопределенность, избавимся, прежде всего, от иррациональности в числителе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение

в)

Для раскрытия неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом и эквивалентностями, вытекающими из него

Тогда предел равен

Задание 3. Вычислить производную функции

а) , б) , в) .

Решение:

а) =

Для вычисления производной используем табличную формулу

б)

Используем формулу дифференцирования частного , предварительно переведя числитель в степень с дробным показателем:

в) .

Используем правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложных функций:

Задание 5.

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Находим область определения функции и исследуем поведение функции на границе области определения.

2. Исследуем функцию на непрерывность, чётность, нечётность, периодичность. Если функция чётная, то её график симметричен относительно оси ординат. Если функция нечётная, то её график симметричен относительно начала координат. В этом случае достаточно исследовать функцию при . Если f(x) периодическая функция, то достаточно провести исследование на отрезке , где - период функции.

3. Находим вертикальные и невертикальные асимптоты.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5. С помощью первой производной исследуем функцию на монотонность и экстремум.

6. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

7. Построение эскиза графика.

Пример.

1) .

Исследуем поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности

Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва

2) Функция имеет разрыв в точке второго рода. Далее, поскольку

то не обладает свойством чётности или нечётности. Очевидно, f(x) не периодическая.

3) Функция не имеет горизонтальных асимптот, но имеет вертикальную асимптоту .

Найдём наклонную асимптоту в виде , где

Таким образом, наклонная асимптота.

4) Точка - единственная точка пересечения графика с осями координат. Промежутки знакопостоянства запишем в виде таблицы 2.2:

Таблица 2.2

			0
	-	-	0	+

5) ,

- критические точки, .

Исследуем знак производной и результаты занесём в таблицу 2.3:

Таблица 2.3

	-3			0
+	0	-	+	0	+
возрастает		убывает	возрастает	0	возрастает
	max			нет экстремума

6) .

- критическая точка на перегиб,

Таблица 2.4

		0
-	-	0	+
выпуклая	выпуклая	0	вогнутая
		точка перегиба

7) Используя свойства функции и характерные точки, строим эскиз графика.

Задание 7. Найдите неопределенные интегралы.

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

а) =

б)

в)

г)

Методом неопределенных коэффициентов представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:

Начальная и конечная дроби имеют одинаковые знаменатели. Для того, чтобы равенство выполнялось при всех допустимых значениях, необходимо и достаточно равенства коэффициентов при одинаковых степенях переменной в числителях этих дробей. В результате получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов: