Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решетка

Цель работы: Научиться получать и демонстрировать дифракционные спектры, выполнять с помощью дифракционной решетки простейшие спектральные измерения, определять характеристики дифракционной решетки.

 

Вопросы, знание которых необходимо для выполнения работы:

1. Дифракция Фраунгофера от одной и более щелей.

2. Дифракционная решетка. Условия главных дифракционных максимумов и минимумов, условия дополнительных минимумов.

3. Распределение интенсивности света в дифракционной картине Фраунгофера от N- щелей.

4. Дисперсия и разрешающая способность дифракционной решетки.

5. Косое падение лучей на дифракционную решетку.

 

Литература

1. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Оптика. §§44,46,47.2005.
2. Е.И. Бутиков. Оптика. §§6.3, 6.5. 2003.
3. Настоящее руководство/

Дополнительная литературв

Г.С.Ландсберг. Оптика. §§ 35-40. 1976.

И.В.Савельев. Курс общей физики, том 3 §§ 21-23. 1971.

С.Э.Фриш, А.В.Тиморева. Курс общей физики, том 3 §§ 266-269, 1957.

 

Сведения из теории

В отличие от дифракции Френеля (Рис.1а) дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах (Рис.1б).

Для анализа распределения интенсивности света в дифракционной картине Фраунгофера от одной щели можно воспользоваться векторной диаграммой. Для этого мысленно разделим фронт волны, проходящий через щель, на узкие участки, параллельные краям щели (Рис.2). Угол α, под которым лучи огибают преграду, называется углом дифракции.

 

 

Как видно из рисунка 2, разность хода Δy между крайними лучами будет равна:

Δy=a sin α, (1)

где a- ширина щели. Разность фаз Δφ зависит от разности хода: Δφ=2π Δy/ λ (2)

Колебания от каждого участка щели, дошедшие до экрана, изобразим в виде малого вектора-амплитуды. На рис.3 представлены векторные диаграммы для трех углов дифракции α. В направлении α=0 все колебания приходят в одной фазе. Следовательно, в центре дифракционной картины будет наблюдаться максимум. Если Δy= λ/2, Δφ = π, sin α = λ/2a и векторная диаграмма имеет вид 3б, т. е. в этом направлении нет минимума, как в случае двулучевой интерференции. Первый минимум появляется при Δy= λ, Δφ =2π и sin α = λ/a (Рис. 3в).

На рис. 4 представлен ход лучей и график распределения интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от одной щели.

При уменьшении ширины щели дифракционные полосы уширяются.

При увеличении числа щелей, освещаемых плоской волной, дифракционная картина усложняется интерференцией от разных щелей, которые могут рассматриваться как когерентные источники света. Условия интерференции могут быть сведены к условиям интерференции пары лучей, таких как 1 и 1’ или 2 и 2’ (Рис.5).с разностью хода

Δy=d sin α, (3)

где d - включает щель и непрозрачный промежуток. Оптический элемент, состоящий из N параллельных щелей, расположенных друг от друга на одинаковом расстоянии d, называется дифракционной решеткой. В случае дифракционной решетки d называется постоянной дифракционной решетки. Интерференционные максимумы наблюдаются в направлениях, для которых

d sin α = k λ (4)

Чем больше N/l (число штрихов на единицу длины), т.е. чем меньше d=l/N, тем больше угол дифракции α, тем дальше друг от друга отстоят главные интерференционные максимумы на экране. Наряду с интерференционными максимумами появляются дополнительные интерференционные минимумы в направлениях, для которых 

d sin α = k’ λ/N, (5)

 

где N –полное число щелей, а k’- целое число, которое не может быть равным 0 и кратным N: k’≠0, N, 2N, 3N…и т. д. С увеличением числа щелей интенсивность интерференционных максимумов растет пропорционально N² и максимумы становятся уже, так как увеличивается число дополнительных интерференционные минимумов (Рис.6).

Из условия главных максимумов (4), если известно d, можно найти длину волны света. Ширина главных интерференционных максимумов при большом количестве щелей N становится очень малой, следовательно, их положение (т.е. угол α) может быть найдено с большой точностью. Таким образом, дифракционная решетка может использоваться для определения спектрального состава света, как хороший спектральный прибор.

Дифракционные решетки могут быть изготовлены нанесением с помощью алмазного резца на стеклянную или металлическую пластину параллельных штрихов через строго одинаковые интервалы. На стекле штрихи являются непрозрачными промежутками, а неповрежденные части – щелями. Такие дифракционные решетки называют прозрачными линейными амплитудными решетками. На практике применяются дифракционные решетки более сложной конфигурации: отражательные, вогнутые, синусоидальные, фазовые со сложной конфигурацией профиля и др. Современные дифракционные решетки содержат от 4 до 3600 штрихов на 1мм в зависимости от области спектра, где они используются. В настоящей работе в качестве дифракционной решетки используются прозрачные копии (реплики) линейных амплитудных дифракционных решеток.

Дисперсия и разрешающая способность дифракционной решетки

До сих пор речь шла о монохроматическом свете с определенной длиной волны λ. Положение в дифракционном спектре дифракционных максимумов, называемых спектральными линиями, зависит от длины волны λ: с увеличением λ, угол дифракции α увеличивается. Так что если на дифракционную решетку направить белый свет, то одиночная спектральная линия, что было бы в случае монохроматического света, расширится в спектр (Рис.7). Этих спектров будет несколько по каждую сторону от центральной белой полосы. Номер полосы, считая от центральной полосы, называется порядком спектра (число k в формуле (4)). Центральной полосе соответствует α=0 и k=0. При использовании немонохроматического света число наблюдаемых порядков спектра ограничено и зависит от характеристик дифракционной решетки.

На рисунке 7 изображён случай, когда спектр 3-го порядка частично перекрывается со спектром 2-го порядка, а спектры следующих порядков в результате их наложения вообще не будут видны. При использовании квазимонохроматического света, например, света после интерференционного светофильтра или от лазера, видны линии очень высоких порядков.

Угловое расстояние между спектральными линиями характеризуют угловой дисперсией. Угловой дисперсией называется величина D=Dα/Dλ.

Из формулы (4) видно, что при небольших углах α:

 (6)

Таким образом, дисперсия (или способность решетки разлагать свет в спектр) тем больше, чем выше порядок спектра, т.е. зависит от угла дифракции. На практике пользуются также понятиями линейной дисперсии, т.е. величиной L=dx/dλ:

, (7)

где f - фокусное расстояние проецирующей на экран спектр линзы (Рис.4).

Однако качество решетки как спектрального прибора, т.е. прибора, способного различать разные длины волн, зависит ещё от ширины главных максимумов. Релей показал, что различить две близкие длины волны λ₁  и λ₂ удается, если максимум для λ₁ находится в том месте экрана, где для λ₂ получается ближайший к максимуму минимум (точка А на рис.8). Условие Релея

определяет нижний предел разрешения и годится для спектральных линий равной интенсивности. Способность решетки различать две близкие линии называют разрешающей способностью. За меру разрешающей способности берется условно величина

, (8)

где δλ - минимальное различие в длинах волн λ, которое решетка ещё может обнаружить. Для длины волны λ₁ k–ому максимуму соответствует , для длины волны λ₂ - . Ближайшему минимуму главного k-ого максимума для λ₂ (см. точку А), как следует из формулы (5), соответствует угол дифракции α, равный (). Следовательно, используя условие Релея, имеем:

; R=kN (9)

Т.е. разрешающая способность зависит не от числа штрихов на I мм, а от полного числа штрихов в решетке. Естественно, R можно определять по формуле (9) только в том случае, если обеспечена хорошая пространственная когерентность излучения.

Измерение углов

Для измерения углов дифракции α можно воспользоваться гониометром. Гониометр представляет собой совокупность двух труб, угол между осями которых отсчитывается по круговой шкале (Рис.9). Труба К (коллиматор) снабжена линзой Л₁, в фокусе которой располагают щель Щ, так что если щель освещена, то после Л₁ свет идет параллельным пучком. Вторая труба (Зр) является зрительной трубой. Зрительная труба состоит из объектива и окуляра_. Гаусса. Перед началом измерений необходимо проверить настройку гониометра. Гониометр считается установленным на выполнение измерений углов, если:

· зрительная труба сфокусирована на бесконечность,

· щель коллиматора находится в фокальной плоскости объектива коллиматора,

· оптические оси коллиматора и зрительной трубы перпендикулярны вертикальной оси вращения гониометра и находятся с ней в одной плоскости.

Грубо установку зрительной трубы на бесконечность можно осуществить, фокусируя ее на удаленный предмет. Точно эта операция выполняется автоколлимационным методом с помощью окуляра Гаусса. Оптическая схема окуляра Гаусса представлена на рис. 10. Окуляр Гаусса состоит из двух линз, полевой и глазной. Вблизи полевой линзы 2 в плоскости, которая должна быть совмещена с задней фокальной плоскостью объектива зрительной трубы, помешены две нити, натянутые в виде креста 4. Между линзами окуляра под углом 45° к оси трубы расположена стеклянная пластинка 3. Свет от источника S. пройдя через боковое отверстие 5, отражается от пластинки 3 и освещает крест 4. Предварительно перемещением глазной линзы добиваются четкого изображения креста 4. Затем на столик гониометра устанавливают плоскопараллельную пластинку 7. Лучи света, выходящие из зрительной трубы, отразятся от передней грани плоскопараллельной пластинки. Поворотом и изменением наклона трубы (или столика) добиваются попадания отраженных лучей обратно в зрительную трубу. При этом в поле зрения зрительной трубы появится светлое расплывчатое пятно. Перемещением окуляра добиваются четкого изображения отражения креста от плоскопараллельной пластинки. При этом плоскости, в которых расположены крест и его изображение, совместятся. Последнее возможно, если обе эти плоскости совпадают с задней фокальной плоскостью объектива, т.е. если зрительная труба установлена на бесконечность.

Установка оси зрительной трубы перпендикулярно оси вращения прибора осуществляется путем совмещения изображения креста с самим крестом. Для этого получают в зрительной трубе два изображения креста: вначале от одной грани, а затем, повернув столик на 180° и при необходимости изменяя наклон зрительной трубы, от другой грани плоскопараллельной пластинки. Если оба изображения окажутся смещенными в одну сторону, вверх или вниз, относительно креста, то совмещения можно добиться изменением наклона трубы. Если изображения находятся по разные стороны креста, то очевидно, что плоскость столика не горизонтальна. В этом случае изменяют наклон столика настолько, чтобы изображение горизонтальной нити приблизилось к самой нити на половину первоначального расстояния. После этого поворачивают столик на 180° и повторяют предыдущую процедуру. Эту операцию повторяют до тех пор, пока несовпадение креста и его изображения по вертикали не станет менее 1 мм. После этого пластинку снимают со столика.

Чтобы произвести правильную установку щели коллиматора, поступают следующим образом. Освещают щель, ловят изображение щели зрительной трубой и, не нарушая установку зрительной трубы, добиваются резкого изображения щели, регулируя положение патрубка со щелью на коллиматоре. Для установки оси коллиматора перпендикулярно оси вращения гониометра винтом наклоняют коллиматор так, чтобы в середине изображения ярко освещенной щели (по вертикали) находилась точка пересечения нитей креста окуляра.

Если на пути параллельного пучка световых лучей на столике гониометра установить дифракционную решетку, то свет с длиной волны λ будет усилен в направлении определенных углов α. Чтобы увидеть его спектральную линию и совместить ее с перекрестием, придется на соответствующий угол повернуть зрительную трубу. Угловая шкала снабжена нониусом. По нониусу определяют угол α. Чем уже будет щель, тем лучше спектральная линия будет совмещена с нитью, тем точнее будет измерен угол α, тем успешнее будет определение длины волны.