Дифракция Фраунгофера

Если расстояние α (Рис.3) увеличивать до бесконечности, то лучи от источника S можно будет считать параллельными, а волновой фронт плоским. Параллельный пучок можно также получить с помощью линзы (Рис. 9, линза 1). Можно также искусственно удалить и точку наблюдения в бесконечность, поставив линзу 2, а экран - в её задней фокальной плоскости. Такая постановка наблюдения дифракции была предложена Фраунгофером. Картину дифракции при такой постановке легче рассчитывать. Рассмотрим особенности дифракционной картины Фраунгофера на примере дифракции света на щели (Рис.9). Для равномерного освещения длинной щели удобно взять источник также в виде узкой протяженной светящейся щели, параллельной щели Щ. Лучи загибают за края щели под разными углами. Угол α называется углом дифракции (Рис.10). Лучи, идущие от разных участков щели под одним и тем же углом α, линза Л₂ соберет на экране, расположенном в ее задней фокальной плоскости, в одном месте. Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина будет иметь вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных краям щели. Каждому углу α соответствует определенная полоса.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, при каких углах α дифракционная полоса будет темной, а при каких – светлой, т.е. найти распределение световой энергии в дифракционной картине. Эту задачу можно решить, используя метод графического сложения амплитуд. Мысленно разобьем открытую часть фронта волны, проходящего через щель, на очень узкие полоски равной ширины, параллельные краям щели (Рис. 10).

Каждую из этих полосок можно рассматривать как источник волн одинаковой амплитуды и фазы. Колебания, пришедшие на экран от каждой полоски, будем изображать коротким вектором . Длина вектора отображает амплитуду колебаний, а его ориентация фазу колебаний. Если α=0, то колебания от всех участков щели придут

на экран в одной и той же фазе, следовательно, вектора – амплитуды выстроятся в прямую линию (Рис.11а), и в центре дифракционной картины будет наблюдаться максимальная освещенность. Пусть , тогда, если фазу колебаний, пришедших от нижнего участка щели, принять за нуль, то колебания, пришедшие на экран от всех последующих участков, будут запаздывать по фазе и на векторной диаграмме каждый следующий вектор должен быть повернут относительно предыдущего вектора на небольшой угол. Разность хода между крайними лучами равна

             (9)

Этой разности хода соответствует разность фаз             

             (10)

Рассмотрим случаи, когда разность хода для крайних лучей будет принимать различные значения. Если  (т.е. ), то это условие, в отличие от результата сложения двух колебаний, еще не приводит к минимуму (Рис.11б) и результирующая амплитуда равна  (равна диаметру полуокружности, длина которой А₀).

Первый минимум появится когда  (рис.12в). Используя метод векторных диаграмм и формулы (9) и (10), получим следующую таблицу:

Теоретически распределение интенсивности света в дифракционной картине Фраунгофера на щели в зависимости от угла дифракции α описывается формулой

(11),

где I₀ – интенсивность света в середине дифракционной картины (в направлении α=0); I_α – интенсивность света в точке, положение которой определяется данным значением угла α. При значении угла дифракции, удовлетворяющем условию

(12),

где  интенсивность света равна нулю. Таким образом, интенсивность равна нулю во всех случаях, когда разность хода Δy между крайними лучами равна λ, 2λ, 3λ, ……, кλ, т.е. минимумы освещенности соответствуют направлениям, для которых sinα = .  

На рис. 12 представлено изображение дифракционной картины Фраунгофера на вертикальной щели по мере расширения щели. Как видно из рисунка, нулевой максимум наиболее яркий и вдвое шире побочных максимумов. По мере расширения щели дифракционные полосы становятся уже. Размер области дифракционного изображения обратно пропорционален ширине щели. При ширине щели а= λ (), полосы исчезнут.

Рис. 12. Дифракция Фраунгофера на вертикальной щели по мере ее расширения слева направо.

Результат дифракции монохроматического излучения на каком-либо препятствии зависит от числа m, перекрываемых им зон. При m >>1 (сотни - тысячи) дифракционные эффекты незначительны и распределение интенсивности приближенно описывается законами геометрической оптики (Рис. 14, плоскость 1). Промежуточное условие (открыты единицы - десятки зон) соответствует дифракции Френеля и приводит к сложному распределению интенсивности, когда в центре картины может наблюдаться и минимум, и максимум (Рис.14, плоскости 2,3 и 4). При m <1 перекрывается малая часть первой зоны и возникает дифракция Фраунгофера или дифракции в дальней зоне (плоскости 6 и 7). Условной границей между двумя видами дифракции считают дистанцию Рэлея R: на этом расстоянии для центральной точки круглое отверстие диаметра D, освещенное плоской монохроматической волной, открывает одну первую зону. Дифракционные распределения в области Фраунгофера имеют идентичный характер, линейно увеличиваясь по мере удаления от экрана с отверстием. Угловой размер  центрального дифракционного максимума в дальней зоне определяется отношением длины световой волны к диаметру отверстия. Легко видеть, что на дистанции Рэлея этот угловой сектор имеет линейный размер равный диаметру отверстия D.

На рис.14 представлен снимок дифракционной картины на кольце, число открытых зон уменьшается слева направо. На этом примере дифракции на кольце можно проследить плавный переход от геометрического изображения (кадры 1-3) через дифракцию Френеля (кадры 4-7) к дифракции Фраунгофера (кадры 9-11). Условной границе (дистанции Рэлея) между дифракцией Френеля и Фраунгофера соответствует снимок 8 (в кольце укладывается одна зона Френеля).

Рис. 14.Дифракционная картина на кольце.