Задание 4 (Математическая логика)

1 2 3 4

А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:

1. ù x & y Ú (ù y º x Ú ù y); 2. ù (x &ù y)Ú (ù x & y) º ù y);

3. y Ú ù x & (y & x ® ù x); 4. x Ú y º (ù x & ù y ® y);

5. x º (x Ú ù y ® ù y & ù x); 6. (y ® ù x Ú (x & y)) º x Ú y;

7. ù (x Ú ù y) ® (x Ú ù y); 8. x Ú (y ® y Ú ù (x Ú y));

9. x Ú y ® ù y & (x ® y); 10. x & (ù y ® x Ú y);

11. x º (y ® ù x Ú (x º ù y)); 12. (x Ú y) ® (y & ù x);

13. (x ® y) ® (ù x & ù (y Ú x)); 14. x º (ù y ® x) Ú (x ® ù y));

15. (x Ú ù y) & (ù x Ú y) º ù y;

Б. В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:

16. (y ® (x Ú ù y)) & (x ® (y Ú ù x)); 17. (x Ú y) ® (y Ú ù x);

18. x º (x Ú ù y) & ù y); 19. x ® (x Ú (ù y & x));

20. x ® ((y & ù x) ® x); 21. (x ® y) ® x Ú y º ù (ù x & ù y);

22. x Ú y º ù (ù x & ù y); 23. (ù x Ú y ® y) º x Ú y;

24. (ù x Ú y ® x) º x & y; 25. ù (x ® y) Ú (ù y ® ù x);

26. ù (x ® y) & ù (y ® ù x); 27. x & ù y ® (x Ú y º ù x);

28. x Ú ù y ® (ù y & ù x)º ù x; 29. x º (y ® x & ù y);

30. ù x º (y Ú (x ® ù y)).

Примеры. А. Составить таблицу истинности формулы

(x ® ù y) & (x Ú y)) º x Ú ù y.

Решение. Порядок выполнения действий:

x ® t

& z º

y ù Ú v

x	y	ù y	x Ú y	z ù y & (x Ú y)	t (x ® z)	v (x Ú ù y)	Ответ: t º v
И И Л Л	И Л И Л	Л И Л И	И И И Л	Л И Л Л	Л И И И	И И Л И	Л И Л И

Б. Проверить, является ли формула (x ® ù y) & (x Ú y)) º (x ® ù y) тавтологией.

Решение (аналогично решению предыдущей задачи, отличается лишь v: x ® ù y.

x	y	ù y	x Ú y	z ù y & (x Ú y)	t x ® z	v x ® ù y	Ответ: t º v
И И Л Л	И Л И Л	Л И Л И	И И И Л	Л И Л Л	Л И И И	Л И И И	И И И И

Ответ: да, тавтология.

Задание 5.

Построить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:

1) найти область определения функции (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);

2) если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);

3) найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);

4) проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);

5) найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью легко находятся;

6) найти производную и критические точки;

7) по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;

8) изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;

9) если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью (нули функции), то найти их теперь по графику;

10) найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).

Варианты:

1) ; 11) ; 21) ;

2) ; 12) ; 22) ;

3) ; 13) ; 23) ;

4) ; 14) ; 24) ;

5) ; 15) ; 25) ;

6) ; 16) ; 26) ;

7) ; 17) ; 27) ;

8) ; 18) ; 28) ;

9) ; 19) ; 29) ;

10) ; 20) ; 30) .

Пример. Исследовать функцию .

Решение. 1) = = при (корни квадратного трехчлена найдены по обратной теореме Виета (в уме)),

значит, .

2) а) при слева ; (1)

	-8	-7,5	-7,1	…
	-90	-159,5	-719,1	…

при справа ; (2)

	-6	-6,5	-6,9	…
	52	121,5	681,1	…

Значит, - вертикальная асимптота;

б) при (и слева и справа) ;

	1,9	2,1

асимптоты нет; - исключенная точка (т. разрыва). (3)

3) В

; т.к. при , то

; таким образом, прямая - наклонная асимптота.

4) Исследуем на четность:

; видим, что: и , т.е. и , значит, общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).

5) а) при ; значит,

- точка пересечения графика с осью ординат; (4)

б) при , но , т.е. при или , т.о.

и - точки пересечения графика с осью абсцисс. (5)

С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при ; при ;

при ; при .

(использована формула: );

а) нет критических точек, где не существует, т.к. не имеет значе-

ния только при , но ;

б) при и , т.е. при ; ;

значит, и - критические точки, а

; .


	+	0	-	нет зн.	-	0	+	+
				нет зн.
выводы	от до	max	от до	вертик. асимпт	от до	min	от до	от до

Т.к. при и , то преобразуем формулу ; тогда

; ;

; поэтому , ; , .

8) ;

	-17	-14	-12	-3	3	8	13
	-36	-36	-38	2,5	-2	2/3	4,5

9) см. 5).

10) .

5 y

-21 -17 -14 -12 -7 -2 0 7 12 x

-2

-12

-36

-38

-40

Приложение 2.

Темы рефератов

1. Возникновение понятия числа; первые системы счисления.

2. Математика в Древнем Египте.

3. Математика в Древней Месопотамии (Шумер, Вавилон, Ассирия).

4. Математика в Древнем Китае.

5. Математика в Древней Греции (1 тысячелетие до н.э.).

6. Пифагор. *)

7. Аристотель.

8. Евклид.

9. Архимед.

10. Математика Древней Греции и Древнего Рима (начало новой эры – I-V века; Александрийская школа).

11. Средневековье. Математика в Индии.

12. Математика в Средней Азии (VIII-XIII века, Улугбек, Омар Хайам и др.).

13. Математика в древней Руси (VIII-XIII века).

14. Математика в эпоху Возрождения (Западная Европа; XII-XV века).

15. Леонардо Пизанский (Фибоначчи). XV век.

16. Леонардо да Винчи. XV век.

17. Франсуа Виет. XVI век.

18. Джон Нэпер (Непер). XVI век.

19. Кардано и Тарталья. XVI век.

20. Коперник, Тихо Браге, Кеплер, Галилей. XVI век.

21. Рене Декарт. XVII век.

22. Блез Паскаль. XVII век.

23. Исаак Ньютон. XVII век.

24. Г.В.Лейбниц. XVII век.

25. Пьер Ферма. XVII век.

26. Даламбер. XVIII век.

27. Леонард Эйлер. XVIII век.

28. Ж.Л.Лагранж. XVIII век.

29. А.М.Лежандр. XVIII век.

30. Г.Монж. XVIII век.

31. П.С.Лаплас. XVIII век.

32. Математика в России XVII-XVIII веков (Роль реформ Петра I; Екатерина II).

33. М.В.Ломоносов.

34. Знаменитые задачи древности (об удвоении куба, о трисекции угла, о спрямлении окружности) и их разрешение (вплоть до XVIII века).

35. К.Ф.Гаусс.

36. Различные доказательства V постулата Евклида (до XIX в. н.э.).

37. Н.И.Лобачевский

38. Основные первоначальные факты геометрии Лобачевского, модели плоскости Лобачевского.

39. Нильс Абель. XIX век.

40. Эварист Галуа. XIX век.

41. Огюстен Коши. XIX век.

42. Карл Вейерштрасс. XIX век.

43. М.В.Остроградский. XIX век.

44. П.Л.Чебышёв. XIX век.

45. С.В.Ковалевская. XIX век.

46. Ф.Клейн. XIX век.

47. А.Пуанкаре. XIX век.

48. Г.Кантор. XIX век.

49. Б.Риман. Конец XIX века.

50. Д. Гильберт. Конец XIX века.

51. Французская математическая школа (XVII-XX в.в.).

52. Немецкая математическая школа (XVII-XX в.в.).

53. Английская математическая школа (XVII-XX в.в.).

54. Российская математическая школа (XVIII-началоXX в.в.).

55. Советская математическая школа.

56. Американская математическая школа (XIX-X X в.в.).

57. Н.Винер.

58. А.Н.Колмогоров.

59. Математика XX века; основные направления развития.

60. Основные стадии развития науки; основные черты современной математики и ее роль в развитии общества.

Примечание. Дополнительная литература к работе над рефератом не указана, т.к. подбор литературы входит как часть в самостоятельную работу студента (этому надо научиться). В пособии Д.Я.Стройка [11] в конце каждой главы есть список рекомендуемой литературы. Можно использовать то, что найдется в личной библиотеке или в ближайшей общественной, в т.ч. и статьи из журналов “Квант”, “Математика в школе” и других периодических изданий, а также энциклопедические словари.

Приложение 3.

Вопросы к зачету по курсу “Математика”

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: