Коэффициенты полных затрат

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Обозначим через xi валовый выпускпродукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1

№ потребление итого на конечный валовый

отрас. внутре продукт выпуск

производ. (уi ) (хi)

№ 1 2 … k … n потребление

отрас. (å хik )

1 х11 х12 … х1k … х1n å х1k у1 х1

2 х21 х22 … х2k … х2n å х2k у2 х2

… … … … … … … … … …

i хi1 xi2 … xik … xin å xik yi xi

… … … … … … … … … …

n xn1 xn2 … xnk … xnn å xnk yn xn

итого

произв.

затраты å хi1 å xi2 … å xik … å xin

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:

х1 - (х11 + х12 + … + х1n ) = у1

х2 - (х21 + х22 + … + х2n ) = у2 (1)

.........................

xn - (xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'ik , y'i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , …, yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

у = (у1 , у2 , …, yn ), (2)

а совокупность значений x1 , x2 , …, xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом:

x = (x1 , x2 , …, xn ). (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений:

xik

aik = ––– (i, k = 1, 2, …, n).

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x'ik xik

––– = ––– = aik = const (4)

x'k xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

A= ………………….

ai1 ai2 … aik … ain

an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель:

x1 - (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

x2 - (a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 (6)

……………………………………

xn - (an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е·х - А·х = У, или окончательно

_ _

(Е - А)·х = У, (6')

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E - A= -a21 1-a22 … -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения (6) содержат 2n переменных(xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y1 , y2 , …, yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1 , х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый

№ затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160 260 240 500

0.55 0.1

2 275 40 315 85 400

Итого затрат 575

в k-ю 375 200

отрасль … 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40

а11 = –––– = 0.2; а12 = –––– = 0.4; а21 = –––– = 0.55; а22 = –––– = 0.1

500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель (6), соответствующая данным табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения (6).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения (6') допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение (6')

А= , то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 - 0.8х2 = у1 (a)

-0.6х1 + 0.1х2 = у2

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 (кроме х1=х2=0 при у1=у2=0).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений (система (6) – несовместная) или иметь бесчисленное множество решений (система (6) – неопределенная).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству (Е - А)·х>0, т.е. если уравнение (6') имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица (Е - А) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство (Е -А)·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение (6') имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение (6') всегда имеет допустимый план и матрица (Е - А) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу (Е - А)-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения (6'') в виде

_ _

х = S·У (7)

Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = (E - A)-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение (7) можно представить в развернутой форме:

x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn

x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn (8)

………………………………

xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

_ 0

У1 =;

Подставляя этот вектор в равенство (7), получим

1 S11

_ 0 S21 _

х = S : = : = S1

0 Sn1 0

_ 1

задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим

0 S12

_ 1 S22 _

х = S: = : = S2

0 Sn2

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит

0 S1k

_ : S2k _

х = S 1 =: = Sk, (9)

: Snk

т.е. k-й столбец матрицы S.

Из равенства (9) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х2=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а11=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 (см п.2):

0.8х1 - 0.4х2 = 0

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (aik ), так и косвенные (Sik - aik ) затраты.

Очевидно, что всегда Sik > aik.

Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы (8):

x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,

что можно записать короче в виде:

_ _

x = Sk·yk (10)

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-

_ у1

ным вектором У =:, то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его

уn

обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

_ _

xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y, (11)

а весь вектор-план х найдется из формулы (7) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам (7) – (11) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2, …, Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = (Dу1, Dу2, …, Dуn ) по формуле:

_ _

Dх = S·DУ, (12)

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.2 0.4

А =

0.55 0.1

Следовательно,

1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4

Е - А = =

-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Определитель этой матрицы

0.8 -0.4

D [ E - A ] = = 0.5

-0.55 0.9

Построим присоединенную матрицу (Е - А)*. Имеем:

0.9 0.4

(Е - А)* = ,

0.55 0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

1 0.9 0.4 1.8 0.8

S = (Е - А)-1 = ––– =

0.5 0.55 0.8 1.1 1.6

Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства (7):

х2

_ _ 1.8 0.8 480 1000

х = S·У = · =

1.1 1.6 170 800.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: