Кратные интегралы. Задание 31-40, 41-50

Пусть функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области  на плоскости . Разобьем область  произвольным образом на  элементарных областей, имеющих площади , , …, , …, . Выберем в каждой элементарной области точку  и умножим значение функции в этой точке на площадь области . Двумерной интегральной суммой для функции по области называется сумма вида

. Двойным интегралом от функции  по области называется предел последовательности двумерных интегральных сумм, если он существует и не зависит от способа разбиения области  на части и выбора точек . Обозначается

Если  в области , то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу областью  плоскости . Площадь области равна .

Рисунок 4.1 – область :  и

Рисунок 4.2 – область :  и

 

 

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла. Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла вида

1) , если область  определена условиями:  и ;

2) , если область  определена условиями:  и .

Переход от первого равенства ко второму или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

При вычислении двойного интеграла иногда бывает удобно перейти к полярным координатам

.

Тройной интеграл от функции  по пространственной области  определяется аналогично двойному интегралу

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла вида

,

где  - проекция области  на плоскость ,  и  - уравнения поверхностей, ограничивающих область  соответственно снизу и сверху.

Объем тела можно вычислить по формуле

.

Пример 1.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Зная пределы интегрирования, определим границы области интегрирования .

Построим данную область

Определим точки пересечения данных линий .

Рисунок 4.3 – Изображение области

Найдем новые пределы внутреннего (по ) и внешнего (по ) интегралов. Слева область ограничена прямой , откуда имеем . Справа область ограничена параболой , откуда получим . Наименьшее значение  в заданной области равно 0, наибольшее 48. Итак, имеем

.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Запишем уравнения линий, ограничивающих область, и построим ее .

Рисунок 4.4 – Изображение области

 

 

Найдем новые пределы внутреннего (по ) и внешнего (по ) интегралов. Область  разобьем на две части  и .

.

Область  снизу и сверху ограничена ветвями параболы . Уравнения этих ветвей получим, выражая  из уравнения параболы . Наименьшее значение  в области  равно (-1), а наибольшее 0.

Область  снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой . Наименьшее значение  равно 0, наибольшее 8. Таким образом, двойной интеграл с измененным порядком интегрирования запишем в виде

Пример 3. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями; ; ; . Сделать схематический чертеж тела и его проекции на плоскость .

 

Рисунок 4.5 – Изображение тела ограниченного поверхностями ; ; .

Рисунок 4.6 – Изображение проекции тела на плоскость

 

 

Решение. 1) Построим тело. Уравнение  определяет круговой цилиндр с образующей, параллельной оси . Уравнение  определяет плоскость, параллельную плоскости ;  - плоскость, которая делит двугранный угол между плоскостями  и  пополам.

2) Построим проекцию тела на плоскость .

3) Вычислим объем тела

.

а) ;

б) ;

в) .

Объем тела равен куб.ед.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение двойного интеграла.

2. Какие геометрические приложения двойного интеграла вы знаете?

3. Как осуществляется переход к полярным координатам при вычислении кратных интегралов?

4. Как изменить порядок интегрирования в двойном интеграле?

     

Литература: [3] стр. 378-398, [7] стр. 204.

Примеры: [2] стр. 6-23, [9] стр. 230. 

 

Вопросы для подготовки к семестровому контролю

II семестр – зачет с оценкой

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
2. Интегрирование методом замены переменной.
3. Метод интегрирования по частям.
4. Интегрирование рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
6. Интегрирование некоторых рациональных функций.
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
8. Понятие и свойства определенного интеграла.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Замена переменной в определенном интеграле.
11. Интегралы с бесконечными границами интегрирования.
12. Интегралы от разрывных функций.
13. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
14. Область интегрирования двойного интеграла. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.
15. Вычисление двойных интегралов в прямоугольной системе координат.
16. Двойной интеграл в полярных координатах.
17. Геометрические приложения двойного интеграла.
18. Физические приложения двойного интеграла.
19. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной системе координат.
20. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системе координат.
21. Геометрические и физические приложения тройного интеграла.
22. Криволинейный интеграл II рода. Основные понятия.
23. Вычисление криволинейного интеграла II рода.
24. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
25. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода.