Рассмотрим одну из многих задач, положивших начало интегральному исчислению.
Пусть на отрезке 
определена непрерывная функция 
и 
для всех 
(рис.2.1).
| Рисунок 2.1 – Криволинейная трапеция
|
Определение. Фигуру, ограниченную сверху данной кривой
, снизу отрезком оси
Ох с боковыми прямыми
и
, называют криволинейной трапецией. В некоторых случаях
(или
), тогда боковая сторона такой трапеции стягивается в точку.
Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок разделим произвольным образом на n частей, точки деления обозначим 
Получили n частичных отрезков 
, 
. В каждом i -ом отрезке возьмем произвольную точку 
и вычислим значение функции в этой точке 
. Длина каждого i -го отрезка будет соответственно равна 
. Произведение 
- площадь прямоугольника с основанием 
и высотой 
. Сумма всех таких произведений 
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции.
.
Если теперь в этом выражении начать неограниченно увеличивать число n так, чтобы длинна наибольшего из 
, то точность приближенного равенства будет повышаться.
За точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры, когда n неограниченно возрастает, так что : 
.
Сумму 
называют интегральной суммой для функции на отрезке .
Если отвлечься от геометрического смысла величины S, то предел, с помощью которого вычисляют S, называют определенным интегралом на отрезке .
Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел последовательности интегральных сумм, если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки 
, ни от выбора точки в них, т.е.
.
Функция 
называется интегрируемой на[ a;b ]; 
– подынтегральная функция, х – переменная интегрирования; а, b – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
2020-05-11
87
