Вопрос 3. Параллельность прямой и плоскости

Вопрос 1. Параллельные прямые в пространстве.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

Рис. 1.

Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость). Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Вопрос 2. Параллельность трех прямых.

Теорема 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Рис. 2.

Доказательство: (Рис. 2.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая через точку К и прямую а. Докажем, что прямая b лежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Параллельность прямой и плоскости

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 3).