Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: (рис. 6)

Рис. 6                                Рис. 7

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Утверждение 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (рис. 8).

Рис. 9

Рис.10

Рис. 8

Утверждение 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости (рис. 9,10).

Задача 1. Параллельные прямые а и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .

Дано: а || b,

Доказать:

Рис. 11.

Доказательство: (Рис. 11)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.

Вопрос 4. Скрещивающиеся прямые

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.