2020-05-12
122
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Вертикальные асимптоты.
Определение. Прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции 
, если 
или 
, или 
.
Например, для функции 
прямая 
является вертикальной асимптотой, т. к. 
.
Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.
Наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты для графика функции будем искать в виде 
, где 
, 
.
Если хотя бы одно из значений k или b не существует или равно бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Замечание. Иногда наклонные асимптоты к графику функции при х→+∞ и х→–∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении коэффициентов k и b следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и х→–∞.
Горизонтальные асимптоты – это частный случай наклонных асимптот при 
. Тогда 
. Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид 
.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение:
1. Найдем вертикальные асимптоты.
– точка разрыва функции .
Вычислим предел функции в точке разрыва: 
.
Таким образом, – вертикальная асимптота.
2. Найдем наклонные асимптоты.
.
Прямая 
является наклонной асимптотой.
Построим график функции и асимптоты.
Пример 2. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна.
Найдем наклонные асимптоты при 
и 
.
. Следовательно, график функции при наклонной асимптоты не имеет.
Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту 
.
