2020-05-12
96
Для наиболее полного представления о поведении функции 
и характере ее графика целесообразно вести исследование функции в определенной последовательности.
1) Область определения функции. Точки разрыва (если они имеются).
2) Точки пересечения графика с осями координат.
3) Интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых 
и 
).
4) Четность (нечетность) функции.
5) Асимптоты графика функции (вертикальные и наклонные).
6) Интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
7) Экстремумы функции.
8) Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба графика функции.
9) Дополнительные точки (при необходимости).
10) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение: исследуем по схеме.
1) Областью определения функции состоит из трех интервалов: (–¥;–1), (–1;1), (1;¥) или 
. Точками разрыва функции являются точки 
и 
.
2) Для отыскания точек пересечения графика с осью Ох в исходной функции приравняем у к нулю. Получим уравнение 
, решив которое получим точку 
– точка пересечения с Ох.
Для отыскания точек пересечения графика с осью Оу в исходной функции приравняем х к нулю. Получим 
. Следовательно точка 
– точка пересечения графика с Оу.
3) тогда и только тогда, когда 
.
(график ниже оси Ох) при 
.
(график выше оси Ох) при 
.
4) Из соотношения 
видно, что функция нечетная. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
5) 
и 
– две вертикальные асимптоты, так как 
и 
.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Получили 
– уравнение наклонной асимптоты.
6) Найдем производную функции.
Критические точки: 
; 
; 
; ; .
Исследуем знак производной на каждом интервале.
Функция возрастает на интервалах 
и 
, убывает на интервалах 
, 
, 
и 
.
7) Точка является точкой максимума, а точка является точкой минимума.
8) Найдем вторую производную функции.
.
Критические точки: ; ; .
Исследуем знак второй производной на промежутках.
График выпуклый вверх на интервалах 
и 
; выпуклый вниз на интервалах и 
.
Точка 
– точка перегиба графика функции.
9) Построим график функции.
