Дифференциальное исчисление (производная функции)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по теме «Производная функции»

Цель.          Научиться дифференцировать функции одного переменного

Задачи.   Выучить правила дифференцирования функций.  Научиться решать задачи на применение производной

Ход работы:

1. Познакомиться с теоретическим материалом

2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)

3. В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу или решить номера, которые указаны в работе.

4.  Сдать преподавателю тетради для практических работ.

 

Критерии оценивания практической работы

  Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 91% -100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

  Оценка «4» ставится при безошибочном решении 81% -90%  предлагаемых заданий.

  Оценка «3» ставится, если выполнено 70% -80% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.

  Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.

Дифференциальное исчисление (производная функции)

Основные понятия. Одним из основных понятий математического анализа является понятие о производной. Производной функции у=f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при условии, что последнее стремиться к нулю. Производная обозначается символами: y', у'_х,f'(х). Таким образом,

(*)

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Продифференцировать данную функцию — значит найти ее производную. Из определения производной непосредственно вытекает общий метод ее нахождения. Числовое значение производной данной функции у = f(х) при данном числовом значении аргумента х=а называется частным значением производной. Это записывается так:

     

Рассмотрим геометрическое и механическое значение производной. Производная у’ = f'(х) при данном значении х=а равна угловому коэффициенту k касательной, проведенной к кривой через данную на ней точку М, абсцисса которой и есть данное значение х=а. Это можно записать та: k = f'(а). Напомним что угловой коэффициент k = tg a, где a есть угол, составленный касательной и положительным направлением оси Ох. Для каждой точки касания угол наклона a имеет свое единственное значение.

Если тело движется по закону S=f(t). где S — путь в метрах, а t — время в секундах, то при изменении времени t на величину Dt влечет за собой изменение величины S на величину DS, то отношение DS к Dt (DS/ Dt) есть средняя скорость изменения пути по времени t, а именно:

Механический смысл производной: мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t. Если закон прямолинейного движения задан уравнением S=f(t). где S — путь в метрах, а t — время в секундах, то скорость

 (при условии, что предел существует) – скорость в данный момент времени или мгновенная скорость. Итак, v=s_t' = f'(t), т.е. скорость точки в случае прямолинейного движения есть производная от пути по времени.

Формулы дифференцирования основных функций
Производная постоянной величины равна нулю:	c'=0, где c=const.                           (1)
Производная степенной функции:	(хn)’ =nxn-1., n – действительное число (2)
Производная от аргумента:	х' = 1.                                                 (3)
Производная функции вида: у =	(4)
Производная функции у = 1/х:
Производные тригонометрических функций:
У = sinx	(sinx)'=cosx                            (6)
У = cosx	(cosx)'=-sinx              (7)
У = tgx	(tgx)' = (8)
У = сtgx	(ctgx)'= (9)
Формула перехода от десятичных логарифмов к натуральным:	lnN= (10) где 0.4343 = lge.
Формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным:
	Число  называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным. (11)
Производная логарифмической функции у = ln x:	(lnx)' =                        (12)
Производная показательной функции          y =ax:	(ax)'=axlna.            (13)
Частный случай y=ex:	(еx)' = ex.                    (14)
Производные обратных тригонометричеких функций:	(arcsinx)' =                     (15)
Y = arccos x	(arccosx)' =          (16)
Y = arctgx	(arctgx)' =                        (17)
Y = arcctgx	(arcctgx)' =             (18)

 

Основные правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы конечного числа функций:

(u+v-w)'=u'+v'-w',                          (1)

где u, v и w — различные функции от х, имеющие производные по х.

Производная произведений двух функций: (uv)'=u'v+v'u, (2)

где u и v — различные функции от х, имеющие производные по х.

     Производная произведения постоянной на функцию: (cu)'=cu', где с=const.  (3)

Производная частного (дроби):     (4) , где с=const. (5)

где u и v — различные функции от х, имеющие производные по х, считая, что v² ¹0 при том значении аргумента х, при котором находится производная:

Производная сложной функции: если у=f(u), где u = j( х), то

у'_х=у'_uu'_x  y'_x=f(u)u'_x.      (6)

Рассмотрим механическое значение второй производной.

С точки зрения механики, вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения точки М в данный момент:

 (4*)

т.е. ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от пути по времени.

Рассмотрим решение примеров и задач на нахождение производной от заданных функций:

Пример 1. Дана функция . Найти , ,

Решение.

Ответ: =1, =19, =-33

Пример 2. Найти производную функции

Решение: используя формулу (uv) ' = u' v + v' u, (2)                        

 –производная произведения двух функций, получим:

Ответ:

Иначе, перемножая двучлены, функцию  у=(х+5)(х²-1) можно

 записать так: у=х³+5х²-х-5; тогда y'=(x³)'+(5x²)'-x'-5', y'=3x²+10x-1   

               Ответ: y' = 3x²+10x-1

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Перепишем функцию в виде

 По формулам (4) – производная алгебраической суммы и (2) – производная степенной функции -

продифференцируем функцию: :

Ответ.

Пример 4. Найти производную функции у=(х²+3)¹⁰.

Решение. Это сложная функция. Пусть х²+3=u, тогда у=u¹⁰. Производная находится по формуле дифференцирования сложной функции:

у'=(u¹⁰)'=10u⁹u'_x, u'_x=(x²+3)'=2x,

y'=10(x²+3)⁹2x, y'=20x(x²+3)⁹.

Ответ: y'=20x(x²+3)⁹.

Пример 5. Продифференцировать функцию y=sin8x.

Решение. Пусть 8х=u, тогда у=sinu.

y'=(sinu)'=cosu*u'_x; u'_x=(8x)'=8

y'=cosu*8 или y'=8cos8x           Ответ:  у'=8cos 8x.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. Пусть   , тогда    и

,

Ответ:

Пример 7. Продифференцировать функцию у= ln sin x

Решение. sin x = u, y=ln u, тогда

            

         Ответ: .

Пример 8. Дана функция .Найти .

Решение. Найдем производную данной функции:

f'(x) = 2^{x +x+1 .} (x²+x+1)'^.ln 2

f'(x) = 2^{x +x+1.}(2x+1)^.ln 2

f'(x) = 2^3.(2^.1+1)^.ln 2 f'(1) = 24ln 2

Ответ :. f'(1) = 24ln 2

Пример 9. Найти производную функции у =

Решение:  В данном примере основание и показатель степени

зависят от х. Логарифмируя, получим lny = x² lnx.

Продифференцируем обе части последнего равенства по х.

Так как у’ является функцией от х, то lny есть сложная функция х

 и (lny)’ = y'/y Следовательно,

Ответ:

Задача 1. Точка движется прямолинейно по закону s = 2t³ + t² + 1, где s — путь в метрах, t — время в секундах. Найти величину скорости в момент t = 3c и величину ускорения в момент t = 4c.

Решение. Скорость равна

v = s'_t = (2t³ + t² + 1)' = 6t² + 2t

v_t=3 = 6^.3² + 2^.3 = 60 (м/с)

Ускорение равно

a = v'_t = (6t² + 2t)' = 12t + 2

a_t=4 = 12*^.4 + 2 = 50(м/c²)

Ответ :.v_t=3 = 60м/с, a_t=4 = 50 м/с².

Задача 2. Найти уравнение касательной к параболе у = х² - 4х + 2 в точке, абсцисса которой равна 3.

Решение. Найдем ординату точки касания:

у_х=3 = 3² – 4^*3 + 2 = -1

Итак, точка касания М (3; - 1) найдена. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся уравнением пучка прямых у - у₁= k (x- x₁).

 В нашем примере х₁ = 3, у₁ = -1, значит у + 1 = k(x - 3).

Угловой коэффициент

k = y'_x=3 = (x² - 4x + 2)'_x=3 - (2x - 4)_x=3 = 2.

Поэтому искомое уравнение касательной примет вид:

у + 1 = 2(х - 3) или у = 2х – 7   в общем виде       2х - у - 7 = 0   

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной?

2. Что называется касательной прямой к линии в данной ее точке?

3. В чем заключается геометрическое значение производной от данной функции y=f(x) в системе декартовых координат?

4. В чем заключается механическое значение производной  

5. Сформулируйте теоремы о производной алгебраической суммы, произведения и частного.

6. Сформулируйте теорему о производной функции от функции (производная сложной функции).

7. Напишите формулы для нахождения производной логарифмической и показательной функций.

 

  Задания для самостоятельной работы:

  Найдите производные следующих функций:

1) f(x) = x³ (x² – 1)²; 2) f(x) = x⁴ (x² – 1)⁵;  

3) y = 8^x; 4) y = sin (2x – 5);

5) у =