Исправления и зачеркивания в оформлении решения заданий, если они сделаны аккуратно, не являются основанием для снижения оценки

Для учащихся, которые изучали математику на базовом уровне, государственная итоговая аттестация по математике проводится на протяжении 135 минут (без перерыва). Учащиеся, которые изучали математику на углубленном уровне, выполняют аттестационную работу в течение 180 минут (без перерыва).

Работа выполняется на листах со штампом образовательной организации (учреждения). Формулировки заданий учащиеся не переписывают, а указывают только номер задания.

Примеры записи решения типовых заданий третьей части

0 5 6 х

Решение задач по геометрии третьей части предусматривает выполнение рисунка, обоснование равенства отрезков, углов, треугольников

и других фигур, подобия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, положения центров описанной и вписанной окружностей.

Решение.

Так как луч AD является биссектрисой угла ВАС, то ∪ CD = ∪ BD. Следовательно, хорды DC и DB, стягивающие эти дуги, равны.

Центр O вписанной окружности

треугольника ABC принадлежит биссектрисе AD угла BAC.

Угол COD является внешним углом ∆AOC, тогда ∠COD = ∠ACO + ∠CAO.

Так как вписанные углы DCB и DAB опираются на дугу DB, то ∠ DCB = ∠ DAB. Тогда ∠ DCO = ∠ DCB + ∠ OCB = ∠ DAB + ∠ ACO = ∠ CAO + ∠ ACO = ∠ COD.

Следовательно, ∆ CDO – равнобедренный, DC = DO.

ВАРИАНТ № 1

Часть I

Задания 1.1-1.6 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению, ответ.

1.1. Какое из чисел 3; 12; 14 является корнем уравнения 4 х – 5 = 7?

12;

14;

ни одно из этих

чисел.

1.2. Областью определения какой из функций является любое значение х?

у =

;

у =

;

у =

;

у =

− 9

х ²+ 1

х − 1

(х + 1)(х −1)

х +1

1.3. Вычислите значение выражения (√5

– √

3)² + 2√15.

;

2 + 4√15

8 + 4√15

1.4. Решите систему неравенств {

5 +

≤ 2,

− 6 < 2.

(– 6; – 3);

(– ∞; – 2);

(– 6; – 3];

(– ∞;– 6).

1.5. Биссектриса угла А образует с его стороной угол 25⁰. Найдите градусную

меру угла, смежного с углом А.

	А			Б		В	Г
25⁰;			50⁰;			130⁰;	75⁰.
1.6. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 4							см, ВС = 6 см,
∠ В = 30⁰.

	А			Б		В	Г
6√		см²;			см²;	12 см²;	6 см².
6√	3	см²;	6√2		см²;	12 см²;	6 см².

Часть II

Решение заданий 2.1-2.4 должно быть кратким. В случае необходимости проиллюстрируйте решение схемами, рисунками.

2.1. Решите графически уравнение − х ² = х.

	²
2.2. Упростите выражение		+		.
	− ²		−

2.3. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок МК, если М (– 3; 4), К (5; 10).

2.4. В параллелограмме АВСD, биссектриса острого угла А делит сторону ВС на отрезки ВК = 3 см и КС = 2 см. Найдите периметр параллелограмма.

Часть III

Решение задач 3.1-3.5 должно содержать обоснование. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство 5 х ² + 8 х – 4 > 0 и найдите его наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целые решения.

3.2. Задача. Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на 1 км/ч по сравнению с той, с которой ехал на станцию, и потратил на обратный путь на 8 мин. меньше. С какой скоростью велосипедист ехал на станцию, если расстояние между селом и станцией составляет 32 км?

3.3. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 5 см и 13 см. Найдите периметр треугольника.

3.4*. При каких значениях параметра m система уравнений

(+ 1) + = 3,

{_{2 − (− 2) = 6} не имеет решений?

3.5*. Зная, что tg α + ctg α = 2,5, найдите tg ²α + ctg ²α.

ВАРИАНТ № 2

Часть I

1.1.

Какое из выражений является одночленом?

7 х ² у ³;

х ²–1;

а + с;

3 ab ² – 2 b.

х ²− 1

х +1

1.2.

Выполните деление дробей

5 х

х ²

;

х −1

;

х (х −1)

;

5 х

х (х − 1)

5 х

х −1

1.3.

Упростите выражение –2 х (2 у – 3 х) – 4 х (2 х – у).

– 14 х ² – 8 ху;

– 2 х ²;

– 2 х ² + 8 ху;

2 х ².

1.4.

Найдите решение системы уравнений { ^х ⁺ ^у ^{= 2,}

х − у = −6.

(– 2; 4);

(2; – 4);

(– 4; 2);

(4; – 2).

1.5.

В ромбе АВСD

угол АВD равен 75⁰

. Чему равен угол ВАD?

75⁰;

150⁰;

140⁰;

30⁰.

1.6.

Найдите площадь равностороннего треугольника АВС со стороной 4 см.

2√

см²;

4√

см²;

8 см².

см

;

Часть II

3− у х −3

2.1. Упростите выражение _у ₂₋ _ху + _ху ₋ _х ₂.

2.2. Один из корней уравнения х ² + рх – 6 = 0 равен 1,5. Найдите р и второй корень уравнения.

2.3. Найдите угол между векторами АВ и АС, если А (− 2; 1), В (2; 5),

С (1; − 2).

2.4. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Ð АВD = 75⁰, Ð САD = 35⁰.

Найдите угол АВС.

Часть III

3.1. Решите неравенство − 2 х ² + 3 х + 2 < 0 и найдите его наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целые решения.

3.2. Задача. Мотоциклист проехал 40 км из пункта А в пункт В и вернулся назад. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч по сравнению с начальной и потратил на обратную дорогу на 20 мин. больше. Найдите начальную скорость мотоциклиста.

3.3. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит катет на отрезки длиной 2 см и 3 см, считая от прямого угла. Найдите гипотенузу треугольника.

3.4*. При каких значениях параметра к система уравнений

_{3 х + (− 1) у = + 1,	не имеет решений?
(+ 1) х + у = 3

3.5*. Зная, что sinα + cosα = 0,6. Найдите sinα · cosα.

ВАРИАНТ № 3

Часть I

1.1. Укажите функцию, которая является прямой пропорциональностью.

у = 5;

у = 5 х + 2;

у = 5 х.

у =

;

1.2. Среди приведенных чисел укажите иррациональное число.

;

√

;

√

;

– √25

0,04

√

1.3. Решите уравнение (х − 3)(х + 4) = 0.

– 4;

− 3 и 4;

– 4 и 3;

1.4. Найдите значение выражения 3⁰ + 3^– ⁴ · 3⁶ – (0,5)^–2.

14;

10,25;

1.5. Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30⁰.

А	Б	В	Г
60⁰;	120⁰;	40⁰;	90⁰.

1.6. Радиус окружности равен 6√2 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

А		Б		В		Г
24 см;			см;	12 см;
24 см;	12√2		см;	12 см;	6√2 см.

Часть II

2.1. Решите графически уравнение х ² = 4.

2.2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b _n), в которой b ₄ = 36, b ₆= 4.

2.3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.

2.4. Даны векторы (– 2; 1) и (3; – 1). Найдите координаты вектора , если

= 2 + 3.

Часть III

3.1. Решите неравенство 5 х ² − 4 х − 1 ≥ 0 и найдите его наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целые решения.

3.2. Задача. На перегоне, длина которого равна 240 км, поезд шел со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем должна быть по расписанию, и опоздал на 48 мин. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

3.3. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника.

3.4*. При каких значениях параметра а система уравнений

х + 2 у = 3,
^{8 х + у = +	2	не имеет решений?

3.5*. Вычислите sin(π + x)cos(₂ + x) – cos(2π + x)sin(³₂ – x).

ВАРИАНТ № 4

Часть I

1.1. На каком из рисунков изображен график уравнения х + у = 3?

А)

В)

– 3 0 х 0 3 х

Б) у Г) у

–3 0 х

0 3 х

–3 –3

1.2. Найдите корни квадратного уравнения х ² + 8 х + 7 = 0.

– 7 и – 1;

1 и 7;

– 1 и 7;

– 7 и 1.

1.3. Выполните сложение

2 +

²− ²

3 +2

2 ²

2 +

;

−

²− ²

1.4. Оцените значение выражения 5а, если 1< а < 3.

5 < а < 15;

1 < 5 а < 3;

5 < 5 а < 15;

6 < 5 а < 8.

1.5. Найдите координаты вектора

АВ

, если А (–3; 2), В (– 1; –2).

(– 4; 0);

(– 2; 4);

(2; –4);

(4; 0).

1.6. Одно из оснований трапеции равно 5 см, а ее средняя линия – 8 см.

Найдите неизвестное основание трапеции.

А		Б		В	Г
6,5 см;		13 см;		5,5 см;	11 см.
			Часть II
Решение заданий 2.1-2.4 должно быть кратким. В случае необходимости
проиллюстрируйте решение схемами, рисунками.
2.1. Сократите дробь	х ²	− х − 6	.
2.1. Сократите дробь	х + 2		.
	х + 2

2.2. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если а₅ =14, а₁₀ = 29.

2.3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 8 см и 5 см, считая от вершины угла при основании. Найдите площадь треугольника.

2.4. В параллелограмме диагонали длиной 6√2 см и 14 см пересекаются под углом 45⁰. Найдите меньшую сторону параллелограмма.