Математические примеры и задачи

1 2

Параграф 1. Разложение аналитической в круге функции в ряд Тейлора.

Квант. 07.01.01. Теорема о разложении аналитической в круге функции в ряд Тейлора (Т)

Рассмотрим функцию комплексного переменного

Пусть функция аналитична в круге

Тогда функция разлагается в нем в степенной ряд Тейлора

коэффициенты которого определяются по формулам

где замкнутый контур, лежащий в круге и содержащий внутри себя точку

Доказательство.

Пусть функция аналитична в круге Возьмем произвольную точку из этого круга и обозначим , выберем число , удовлетворяющее условию . Возьмем окружность с центром в точке радиуса (см. рис.) и напишем формулу Коши

Разложим ядро Коши в степенной ряд, используя формулу суммы геометрической прогрессии.

поскольку

Полученный степенной ряд сходится равномерно на окружности и его равномерная сходимость не нарушится после умножения его на ограниченную (что следует из ее непрерывности) функцию . Интегрируя ряд почленно, получим

где

В этой формуле мы заменили контур интегрирования на произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур , лежащий в круге и содержащий внутри себя точку Это возможно в силу теоремы Коши для многосвязной области.

По формуле Коши для производных аналитической функции из предыдущей лекции мы имеем

так что ряд (1) является рядом Тейлора для функции

Замечание (оценка коэффициентов ряда Тейлора).

Положим

Из формулы (2) имеем

Квант. 07.01.02. Теорема Лиувилля (Т)

Рассмотрим функцию комплексного переменного аналитическую во всей комплексной плоскости

Пусть функция ограничена по модулю

Тогда функция - константа,

Доказательство.

Пусть Из формулы (3) имеем

для любого Устремляя к бесконечности, получим

и Теорема доказана.

Математические примеры и задачи.

Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов.