Параграф 2. Разложение аналитической в кольце функции в ряд Лорана

1 2

Квант. 07.02.01. Теорема о разложении аналитической в кольце функции в ряд Лорана (Т)

Рассмотрим функцию комплексного переменного

Пусть функция аналитична в кольце

Тогда функция разлагается в нем в степенной ряд Лорана

коэффициенты которого определяются по формулам

где замкнутый контур, лежащий в кольце и содержащий внутри себя точку

Доказательство.

Пусть функция аналитична в кольце

и произвольная точка из этого кольца. Обозначим и выберем числа так, чтобы выполнялись неравенства

Обозначим окружности с центром в точке радиусов соответственно

(см. рис.). Знаки плюс и минус указывают направление обхода, плюс – против часовой стрелки, минус – по часовой стрелке. Запишем формулу Коши для двухсвязной области

Разложим ядра Коши в ряды, используя формулу суммы геометрической прогрессии, а затем проинтегрируем почленно. Имеем на окружности

поскольку

На окружности имеем

поскольку

Интегрируя почленно, получаем

где

Вторую формулу можно переписать так

В силу теоремы Коши для многосвязной области мы можем заменить контуры интегрирования и на произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур , лежащий в кольце и содержащий внутри себя точку

Ряд Лорана можно записать так

где

Замечание.

Ряд (4) называется рядом Лорана при этом ряд

называется правильной частью, а ряд

называется главной частью разложения Лорана.

Математические примеры и задачи.

Записать все возможные разложения по степеням заданных функций и указать области сходимости полученных рядов.

Решение.

Найдем нули знаменателя,

Следовательно, функция аналитична в следующих областях с центром в точке и не содержащих точек :

I) круг ,

II) кольцо ,

III) кольцо 3

В области I функция разлагается в ряд Тейлора, а в областях II и III в ряд Лорана. Чтобы получить эти разложения, разложим нашу дробно-рациональную функцию на сумму простейших дробей и каждую из этих дробей приведем к виду суммы сходящейся геометрической прогрессии.