2020-05-12
202
Пусть функция 
в дискретный момент времени n принимает целое значение i (можно вместо целых чисел i рассматривать любые числа) с вероятностью 
, иначе, некоторая система в момент времени n находится в состоянии i с вероятностью , т. е. 
.
Совместное распределение вероятностей и 
определим формулой 
, а совместное распределение случайного вектора 
зададим следующим выражением 
. Таким образом, переход из состояния i в состояние j определяется вероятностью перехода 
.
Определение 1. Последовательность дискретных случайных величин образует марковский процесс, если для каждого набора целых чисел 
соответствующее совместное распределение 
определено таким образом, что условная вероятность события 
при условиях 
совпадает с условной вероятностью события при единственном условии 
. Числа 
произвольны, а рассматриваемые события имеют положительные вероятности.
Таким образом, в определении 1 постулируется, что для заданного настоящего состояния системы 
никакие дополнительные сведения относительно состояний системы в прошлом не могут изменить (условную) вероятность состояния x в некоторый будущий момент времени.
Дискретный марковский процесс также называется цепью Маркова, но описанный перед О1 процесс обладает дополнительным свойством: переходные вероятности 
не зависят от n.
Обобщением описанной ситуации является случай, когда переходные вероятности 
зависят только от разности 
. Такая цепь Маркова называется однородной. В общей цепи Маркова переходные вероятности зависят от моментов времени и обозначаются 
, так что 
определяют вероятности перехода за один шаг. В дальнейшем рассматриваются только однородные цепи Маркова, для которых 
Теория цепей Маркова является простейшим обобщением схемы независимых испытаний Бернулли, в которой с каждым исходом 
связывалась фиксированная вероятность 
. В цепи Маркова каждой паре исходов 
отвечает условная вероятность 
и должны быть заданы вероятности 
исходов в начальном состоянии. Вероятности последовательных исходов в цепи Маркова удовлетворяют соотношению
,
причем начальному исходу удобно присваивать номер 1, второму – 2 и т. д.
Пусть цепь Маркова описывается начальным вектором вероятностей 
, 
исходов (состояний) 
и квадратной матрицей вероятностей перехода
,
причем 
и 
. Такая матрица называется стохастической.
Любая стохастическая матрица может служить матрицей вероятностей перехода и вместе с начальным вектором вероятностей задает цепь Маркова.
Примеры цепей Маркова.
Графически цепь Маркова описывается направленным графом, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуга, выходящая из состояния 
и направленная в состояние 
,помечается вероятностью перехода .
Аналогично предыдущему можно определить цепь Маркова с бесконечным числом состояний.
Из определения 1 следует, что вероятности перехода за n шагов можно найти по простой формуле
,
т. е. с формальной точки зрения исследование многих свойств цепей Маркова сводится к изучению степеней матриц вероятностей перехода.
Для любых неотрицательных n и r справедливо уравнение Колмогорова-Чепмена 
, где 
– единичная матрица.
Пусть 
– распределение вероятностей цепи Маркова на n -м шаге, причем 
. Тогда имеем
, 
.
Пример цепи Маркова.
.
