2020-05-11
104Изучить самостоятельно теоретический материал
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.
- Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 3600).
Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.
Исследуем этот вопрос. Результат представлен в таблице
| Форма граней | Сумма плоских углов при Вершине многогранника |
| 600 * 3 =1800 |
|
| 600 * 4 =2400 |
|
| 600 * 5 =3000 |
| 900 * 3=2700 |
| 1080 * 3=3240 |
Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.
тетраэдр 
куб 
октаэдр
икосаэдр 
додекаэдр
|
|
|
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу
| Правильный многогранник | Число граней | Число вершин | Число ребер | Г+В |
| Тетраэдр | 4 | 4 | 6 | |
| Куб | 6 | 8 | 12 | |
| Октаэдр | 8 | 6 | 12 | |
| Додекаэдр | 12 | 20 | 30 | |
| Икосаэдр | 20 | 12 | 30 |
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12
Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.
Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).
Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.
Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.
Задача 1. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
Прочитай! Это интересно. Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
|
|
|
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.
Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра (Найди изображение картины в интернете).
3. Прочитать по учебнику Геометрия 10-11, автор Атанасян п., стр.76-77
Составить в рабочей тетради краткий конспект.
5. Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор
№ 272 – 275 склеить модель правильного многогранника на выбор.
