Вычисляемые физические величины

Задача электрического поля переменных токов в ELCUT

Постановка задачи

Формулировка задачи электрического поля переменных токов основана на двух дифференциальных уравнениях и связывающем их законе Ома в дифференциальной форме:

1) уравнение Пуассона для неподвижного электрического поля

,    [Кл/м³];

2) уравнение растекания токов (зарядов) в проводящей среде

,

где  – вектор плотности тока,

i – мнимая единица,

       ω – угловая частота переменных токов,

       γ – удельная электропроводность среды в определенном направлении, [См/м];

3) закон Ома в дифференциальной форме

.

 

Источники поля

1) электрический потенциал U ₀, [В], на ребре или в вершине модели – соответствует граничному условию Дирихле первого рода;

2) нормальная плотность тока j_n, [А/м²], на ребре в плоскости модели (проводник с током, который перпендикулярен плоскости модели) – соответствует граничному условию Неймана второго рода;

3) внешний (сторонний) ток I, [А], в вершине модели:

– в плоскопараллельной задаче соответствует токоподводу в виде тонкого проводника, перпендикулярного плоскости модели;

- в осесимметричной задаче соответствует токоподводу в виде тонкого кольца с осью, совпадающей с осью симметрии задачи или точечный токовый ввод, если точка лежит на оси вращения (полный ток связан с линейной плотностью соотношением I = 2π r σ.

Примечание: потенциал U ₀, плотность тока j_n и полный ток I в задаче электрического поля переменных токов задаются своей фазой и амплитудой.

 

Граничные условия

1) условие Дирихле первого рода задаёт известное значение электрического потенциала U ₀, [В], на рёбрах или в вершинах модели (необходимо задание условия Дирихле хотя бы в одной точке каждой области).

2) граничное условие Неймана второго рода:

- на внешней границе    j_n = j, [А/м²],

где j_n – нормальная компонента вектора плотности тока, [А/м²];

       j – плотность стороннего тока, [А/м²] (при j = 0 граничное условие называется однородным).

- на внутренней границе j⁺_n – j⁻_n = j, [А/м²],

где j⁺_n и j⁻_n – плотности тока соответственно слева и справа от границы, [А/м²].

Однородное условие Неймана (j = 0) является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех рёбрах внешней границы.

Вектор плотности тока: .

3) граничное условие равного неизвестного потенциала задаёт поверхность изолированного проводника с заранее неизвестным потенциалом (не допускается соприкосновение поверхностей с условием неизвестного потенциала и с условием Дирихле, иначе везде требуется определить значение потенциала).

 

Вычисляемые физические величины

После итерационного решения задачи электрического поля переменных токов в ELCUT доступны для вывода локальные и интегральные (суммарные) физические величины.

Локальные величины:

1) комплексная амплитуда электрического потенциала U ₀, [В];

2) комплексный вектор напряжённости электрического поля :

- в плоскопараллельной задаче

, ;

- в осесимметричной задаче

, ;

3) комплексный вектор плотности тока:

- активного                         ,

- реактивного               ,

- кажущегося (полного) ;

4) удельная мощность – средняя или амплитудная:

- активная (Джоулева) ,

- реактивная                 ,

- кажущаяся (суммарная) ;

5) диэлектрическая проницаемость ε (наибольшая компонента в анизотропной среде);

6) электропроводность γ (наибольшая компонента в анизотропной среде).

Интегральные величины:

1) комплексная величина тока (активная, реактивная, кажущаяся) через ограниченную поверхность S в плоскости модели

,

       где  – единичный вектор нормали к поверхности S, ограниченной замкнутым или разомкнутым контуром;

2) мощность (активная, реактивная, кажущаяся) в ограниченном объёме – средняя или амплитудная:

;

3) электрическая сила, действующая на тела, ограниченные в объёме – средняя или максимальная:

;

4) момент электрических сил, действующих на тела, ограниченные в объёме – средний или максимальный:

,

где  – радиус-вектор точки интегрирования.

В плоскопараллельной задаче вектор момента направлен параллельно оси z. Момент вычисляется относительно начала координат. Значение момента относительно любой точки может быть получено добавлением векторного произведения , где  - радиус-вектор точки.

 

После прочтения материала постарайтесь ответить на вопросы для самопроверки.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Перечислите несколько отличий между задачами электрического поля постоянных токов и электрического поля переменных токов в ELCUT.

2. Какие физические величины определяются в результате решения задачи электрического поля переменных токов в ELCUT?

3. Какие параметры фигурируют в уравнении Пуассона при постановке задачи электрического поля переменных токов в ELCUT?

4. Какие физические величины могут выступать в роли источников электрического поля переменных токов в ELCUT?

5. Запишите граничные условия Дирихле и граничные условия Неймана в задаче электрического поля переменных токов в ELCUT.

6. Какие физические величины определяются в результате решения задачи электрического поля переменных токов в ELCUT?

7. Насколько отличаются максимальное и среднее значение одной и той же синусоидальной величины?