Высылаем конспект и решения домашних задач личным сообщением в ВК до 14.04 до 20.00

Записываем число классная работа, тему урока

В тетради записываем определения, примеры решения задач.

1.Комбинаторные  задачи

Определение 1 Факториал натурального числа .

Используя знак факториала, можно, например, записать:

 

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Свойства

Читается “эн - факториал”.

Перестановки.  В таких задачах дается ответ на вопрос сколькими способами можно расположить элементы некоторого множества.

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

На первом месте может стоять любая из 7 книг, на 2-м месте любая из 6 книг (одна из книг уже выбрана), на 3-м месте любая из оставшихся 5 книг и так далее. Тогда число возможных способов расставить книги на полке= 7 =7!=5040.

Определение 2. Число всех возможных перестановок обозначается Р п и оно равно п!, т.е. Р п = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Самопроверка.

Задача № 2. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального           

                 забега на 5-ти беговых дорожках? 

Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Размещения

 Задача №3

9 карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует

различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.

Ответ: 3024.

При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

Определение 3.

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести               

                  девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И         

             варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,       

             считаются разными, поэтому:

                                         

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только               

                 один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из 

             трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

             расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

             и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

             элементов по три.

             По формуле числа размещений находим:

 

                              

                                              

Ответ:   504 трехзначных чисел.

Задача №6. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Ответ:151200 способов

Сочетания

Подсчитаем количество способов, которыми можно выбрать из различных предметов. Такие выборки называются сочетаниями, а их количество обозначается .

При , выбрать k предметов из n можно способами, переставляя их способами:

.

Рекуррентная формула: .

Свойства сочетаний: ; .

Например: 

Задача № 7. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                 время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:  способов.

Ответ: 210 способов.

Для закрепления материала выполняем № 719, 733,736,757.

Д/З Гл. 5§11. Стр 171 изучить. Выучить определения и формулы. Выполнить № 740,762,768.

Высылаем конспект и решения домашних задач личным сообщением в ВК до 14.04 до 20.00

https://www.youtube.com/watch?v=Cg891Vppx_4&t=124s