Вычисление длины дуги плоской кривой

1 2

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой

, двумя прямыми x = a, x = b и отрезком [ a; b ] оси OX вычисляется по формуле:

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью OX.

Решение. Находим точки пересечения параболы с осью OX:

. Тогда искомая площадь равна:

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми

и двумя прямыми x = a, x = b, находится по формуле:

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения линий: . Получаем .

Вычисляем площадь:

Пусть функция - непрерывна на [ a; b ] и для всех . Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре F относительно оси OX.

, .

Таким образом, .

Если конечное число раз меняет знак на отрезке [ a; b ], то интеграл по отрезку [ a; b ] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где , и отрицателен там, где . Тогда сумма площадей вычисляется по формуле:

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме где , , .

Данные уравнения определяют некоторую функцию

на отрезке [ a; b ]. Так как

, а

, получаем:

. Таким образом,

Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Пусть в полярной системе координат задана кривая

, где

– непрерывная функция при

. Площадь сектора OAB, ограниченного кривой

и радиусами-векторами

, вычисляется по формуле:

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля .

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая на отрезке [ a; b ] – гладкая (т.е. производная непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

Пример: Вычислите длину дуги цепной линии от до .

Решение. , ,

Тогда

При параметрическом задании кривой , , где и – непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги кривой, соответствующая изменению параметра t от до выражается интегралом