Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси OX, то объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми y = c, y = d, вращается вокруг оси OY, объем тела вращения равен

.

Пример: Вычислите объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой , вокруг оси OX.

Решение.

.

Вычисление площади поверхности вращения

Если дуга гладкой кривой  вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

.

Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы  вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой x =3 a.

Решение. , , .

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , где , то площадь поверхности вращения равна

.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , где , то площадь поверхности вращения равна

.