Ответы и решения заданий тренировочных листов 3 и 4 от 7 апреля

Тренировочный лист 3. Ответы: 1. 18 2. 42 3. 25 4. 2 5. 13

Решение: 1. Так как треугольник АВС равносторонний, то его медиана BH является и биссектрисой, и высотой. Тогда треугольник ABH - прямоугольный. Тогда:

Ответ: 18

2. Так как ∠ AOC и ∠ AOB — смежные, ∠ AOB = 84°. Центральный угол равен дуге на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ ACB = 42°. Ответ: 42.

3. Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому СD = 5. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: Ответ: 25.

4. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см.

Ответ: 2.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают» — верно, т.к. совпадают точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров этого треугольника.

2) «Существует квадрат, который не является ромбом» — неверно; верным будет утверждение: «Существует ромб, который не является квадратом».

3) «Сумма углов любого треугольника равна 180°» — верно по свойству треугольника. Ответ: 13.

Тренировочный лист 4. Ответы: 1. 44 2. 40 3. 1 4. 20 5. 3

Решение: 1. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых, поэтому углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 6. Противоположные стороны параллелограмма равны. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2(BC + AB) = 2(6 + 10 + 6) = 44. Ответ: 44.

2. Проведём радиус AH в точку касания. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём

Ответ: 40. 3. Площадь круга равна: Ответ: 1.

4. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом,

Ответ: 20.

5. Проверим каждое из утверждений. 1) «Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.» — неверно, сумма углов выпуклого n — угольника равна (n – 2)·180°. 2) «Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.» — неверно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. 3) «Диагонали квадрата делят его углы пополам.» — верно, Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. Таким образом, прямоугольные треугольники равны.

4) «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.» — неверно, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.