Уклон линии численно можно рассматривать как превышение, приходящееся на единицу горизонтального расстояния

Определение уклона линии

Пусть линия местности AB (рис. 2) наклонена к горизонту АС под углом v. Тангенс этого угла называют уклоном линии и обозначают буквой i:

т. е. уклон линии равен отношению превышения h к горизонтальному проложению S.

Рис. 2. Схема определения уклона линии

Пример. Если h = 1 м, a S =20 м, то i = 1/20 = 0,05

Уклон i = 0,05 показывает, что линия местности повышается или понижается на 5 см через каждый 1 м или на 5 м через каждые 100 м горизонтального расстояния S.
Если превышение положительное (+h), то уклон положителен (линия направлена вверх на подъем), а когда превышение отрицательное (- h) – уклон отрицателен и линия направлена вниз на спуск.

Уклон линии численно можно рассматривать как превышение, приходящееся на единицу горизонтального расстояния.

Измерив на карте длину заложения (расстояние между двумя соседними горизонталями по заданному направлению) и зная высоту сечения, можно найти уклон линии. Уклон обычно выражают в процентах или промилле (промилле – это тысячная часть целого или 1/10 процента).

Пример. Измеренное по карте заложение d = 29 м. Высота сечения h = 1 м. Найти уклон линии. i = 1/29 = 0,034или, выразив уклон в процентах, получим i = 3,4%.3,4% означает, что разница высот в начале и конце 100 метрового горизонтального участка составляет 3,4 м.Если умножить 3,4% на 10, получим величину уклона в промилле (‰)3,4% × 10 = 34‰Уклон 34‰ означает, что разность высот в начале и конце горизонтального участка длиной 1 000 м составит 34 м.

3.3 Пример. Определить наклонное расстояние D если горизонтальная проекция d = 100,00 м (рисунок 3), а разность отметок концов линии h=16 м.

tg ν = h / d = 12 / 100 = 0,12; ν = 6о 51'

D = h / sin ν = 12 / 0, 1193 = 100,6

3.4 Пример Определить горизонтальную проекцию d линии АВ, если длина наклонной линии D= 100,00 м и отметки точек: Н_А = 120 ми Н_В = 123 м (рис. 4).

Решение Вычисляем превышение к точки В над точкой А (рисунок 8). Как видно из рисунка h = 123 м -120 м = +3 м.

4. Задачи 14,15

Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.5), горизонтальное расстояние S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Рис. 5. Прямая геодезическая задача

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Дано: Точка А(X_A, Y_A), S_AB и α_AB.

Найти: точку В(X_B, Y_B).

Непосредственно из рисунка имеем:

ΔX = XB – XA; ΔY = YB – YA.

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

ΔX = S_AB · cos α_AB; ΔY = S_AB · sin α_AB.

Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.

Таблица 1.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности в которую направлена линия
	I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	-	-	+
ΔY	+	+	-	-

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = SAB · cos rAB; ΔY = SAB · sin rAB.

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

XB = XA + ΔX; YB = YA + ΔY.

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А(XA, YA) и В(XB, YB) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB и дирекционный угол αAB (рис.8).

Рис. 8. Обратная геодезическая задача

Даннная задача решается следующим образом.Сначала находим приращения координат:

ΔX = XB – XA; ΔY = YB – YA.

Величину угла r_AB определим из отношения

ΔY/ ΔX= tg rAB

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.

Расстояние SAB можно определить по формуле