Достаточное условие экстремума

Пусть функция  определена и дифференцируема

на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда .

Доказательство:

По определению производной:

.

Пусть для определенности в точке  функция  принимает набольшее значение. Тогда числитель .

Рассмотрим два случая:

1) .

По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ .

2) .

.     

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как , то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что .

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

.

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

.

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

 непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

     

Þ существует точка сÎ(a;b): .

; .

.

.

Ч.т.д.

 

 

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением может быть самой точки x₀, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x₀, положив

f(x₀) = g(x₀) = 0.

В окрестности точки x₀, т.е. на (x₀,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x₀, х) такая, что

, т.к. f(x₀) = g(x₀) = 0.

Перейдем к пределу при x x₀   с x₀:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа  можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа  существует аналог правила Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением самой точки x₀, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.   

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1^¥), (¥⁰), (0⁰), сводя их к неопределенностям типа , .  

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида  или , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида  или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=aⁿ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xⁿ).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=log_ax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида  или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (0⁰), (1^¥), (¥⁰); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = =  =

=  =0;

Þ A=e⁰=1.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Пусть функция  n раз дифференцируема в окрестности точки x₀.Найдем многочлен  степени не выше n-1, такой что

, ,,…, .    

Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:

.

Неопределенные коэффициенты  определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.

Найдем производные от :

;

;…

.

Подставляя  вместо , находим:

, , , , …, . Отсюда

Þ , , , ,…, .

Искомый многочлен будет иметь вид:

, или

.

Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.

Теорема. Пусть функция  n раз дифференцируема в окрестности точки x₀. Тогда в этой окрестности для функции  справедлива следующая формула Тейлора:

+

+ .

Здесь  некоторая точка, заключенная между и  (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.

Доказательство:

Обозначим через  многочлен

.

Ясно, что для каждого выбранного  существует такое число , для которого будет выполняться равенство:

.        (1)

Покажем, что это число  при уже выбранном  будет равно  при некотором  из промежутка .

Определим функцию

.

Ясно, что

Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке  () будет выполняться равенство: .

Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех  выполняются равенства:

     (2)

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции  на промежутке

[ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции  на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции  на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство . 

Утверждение доказано.

Если x₀=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

+   

    Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1. .

Þ ,

где .       

2. .

Þ ,

где .   

3. .

,…

Þ ,

где .  

Пример:

Разложить функцию  по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.

Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на

(-x):

.

.

Приложения формул Тейлора и Маклорена.

    Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , ,  и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции  по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

    Поскольку , то в остаточном члене  величина  удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию   соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ().

    Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

Признаки монотонности функции.

Достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена в критической точке x₀ и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x₀. Если «при переходе» через точку x₀ слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от х₀, т.е. на (х₀-δ,х₀) .

Справа от х₀, т.е. на (х_0, х₀+δ) .

Þ справа от х₀ функция  убывает.

Т.о. в окрестности точки х₀ выполняется

неравенство .

 х₀ – точка локального максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: .   Þ , .

x	(-∞;1)	x=1	(1;3)	x=3	(3;+∞)
	+	0	–	0	+
	возрастает	max	убывает	min y(3)=1	возрастает

б) .

1. Область определения функции D(y): x¹-1.

2. ;

.

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;

                             – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x	(-∞;-1)	x=-1	(-1;+∞)
	+	не существует	+
	возрастает	не существует	возрастает

Точек экстремума нет.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция  определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.

Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:

1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в найденных точках.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка.

Пусть функция  определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Теорема.

Пусть  существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть . Если , то в точке  функция имеет максимум; если , то в точке  функция имеет минимум.

 Доказательство:

Докажем для максимума.

Пусть . Пусть .

Так как, по условию,  непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная  будет отрицательна.

Так как  есть производная от первой производной, т.е. , то из условия  следует, что  убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности .

Так как , Тогда слева от , т.е. на (х₀-δ,х₀) имеем , а справа от , т.е. на (х_0, х₀+δ) имеем , т.е. производная  «при переходе» через точку x₀ слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка  – точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . ,  Þ , .

3. .

x	x=-1	x=3
	-12	12
	max y(-1)=12	min y(3)=-20

б) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: .  Þ .

3. .

x	(-∞;0)	x=0	(0;+∞)
		0
	+	0	–
	возрастает	max y(0)=1	возрастает

Выпуклые и вогнутые функции.

Пусть функция  дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.

Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.

Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.

На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.

Признак выпуклости.

Пусть функция  имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b) .

Возьмем точку x₀Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

                                                                            (1)

Разложим функцию  в окрестности точки x₀ по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

,                                         (2)

x

y

Вычтем (2) - (1):

.

 на (a;b) .

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие  () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция  в точке x₀ имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль  или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть  непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через  меняет знак, то точка  — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку  меняет знак с «+» на «-».

+

-

x0

                    

Тогда слева от точки  — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка  — точка перегиба.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на перегиб. .

D(y)=R.

; .

Критические точки второго рода:

: ;

 не существует: точек нет.

При переходе через точки  вторая производная  меняет знак.

Þ  — точки перегиба.

 

Асимптоты графика функции.

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если  является асимптотой, то  и  в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:

y

x

f(x)

kx+b

x

N

Q

M(x;y)

y=kx+b

асимптота

график функции

По определению асимптоты: если ОМ , то |MN| 0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

Перейдем к пределу при x→±∞:

                                              (*)

Þ .

.

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

 — вертикальная асимптота.

 = ;

 = = =  =3 Þ .

Þ