2020-05-11
494Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Математический анализ» 2 семестр
Для студентов очной формы обучения
Раздел №1 «Приложения производной»
Волгодонск
Теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Ферма.
Пусть функция 
определена и дифференцируема
на интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда 
.
Доказательство:
По определению производной:
.
Пусть для определенности в точке 
функция 
принимает набольшее значение. Тогда числитель 
.
Рассмотрим два случая:
1) 
.
По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ 
.
2) 
.
.
Ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Ферма:
Так как 
, то угловой коэффициент касательной равен нулю 
Þ касательная параллельна оси ОХ.
Теорема Ролля.
Пусть функция 
определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения 
. Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. 
.
Доказательство:
| 0 |
| b |
| a |
непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях 
принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y
Возможны два случая:
1) М=m.
| 0 |
| b |
| a |
| x |
| M |
| m |
m.
y
Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].
В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная 
.
Ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Ролля:
Þ Ккас=0 Þ касательная
в точке c параллельна оси ОX.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция 
определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно 
.
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию 
.
Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.
| Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. |
|
Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что 
.
.
Ч.т.д.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
.
Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:
.
Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].
Теорема Коши.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: 
.
Доказательство:
Рассмотрим вспомогательную функцию:
.
непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.
Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. 
|
|
Þ существует точка сÎ(a;b): 
.
; 
.
.
.
Ч.т.д.
Правило Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и 
, 
. Тогда если существует предел отношения производных функций 
, то существует предел отношения самих функций 
, причем они равны между собой, т.е. 
.
Доказательство:
Доопределим f(x) и g(x) в точке x0, положив
f(x0) = g(x0) = 0.
В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что
, т.к. f(x0) = g(x0) = 0.
Перейдем к пределу при x 
x0 
с 
x0:
.
Ч.т.д.
Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа 
можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.
Для раскрытия неопределенностей типа 
существует аналог правила Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем 
. Пусть 
, 
. Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа , .
Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или 
, то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида 
или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
.
.
Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).
.
Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида 
или 
, опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
.
= 
= 
=(0×¥)= 
= = 
=
= 
=0;
Þ A=e0=1.
Формулы Тейлора и Маклорена.
Пусть функция 
n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен 
степени не выше n-1, такой что
, 
,,…, 
.
Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням 
, с неопределенными коэффициентами:
.
Неопределенные коэффициенты 
определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.
Найдем производные от 
:
;
;…
.
Подставляя 
вместо 
, находим:
, 
, 
, 
, …, 
. Отсюда
Þ 
, 
, 
, 
,…, 
.
Искомый многочлен будет иметь вид:
, или
.
Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.
Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:
+
+ 
.
Здесь 
некоторая точка, заключенная между 
и 
(
), зависящая от , а 
= 
- остаточный член в форме Лагранжа.
Доказательство:
Обозначим через 
многочлен
.
Ясно, что для каждого выбранного 
существует такое число 
, для которого будет выполняться равенство:
. (1)
Покажем, что это число при уже выбранном будет равно 
при некотором из промежутка 
.
Определим функцию
.
Ясно, что
Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: 
.
Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех 
выполняются равенства:
(2)
Число 
выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, 
. Таким образом, для функции 
на промежутке
[ 
] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка 
, производная функции , в которой равна нулю, то есть 
. Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции 
на промежутке [ 
] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции 
на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .
Утверждение доказано.
Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
+ 
Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. 
.
Þ 
,
где 
.
2. 
.
Þ 
,
где 
.
3. 
.
,…
Þ 
,
где 
.
Пример:
Разложить функцию 
по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.
Воспользуемся формулой Маклорена для функции 
, заменив x на
(-x):
.
.
Приложения формул Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как 
, 
, 
и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.
В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].
Поскольку 
, то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: 
. Следовательно,
.
Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем 
. Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что 
, поскольку (
).
Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.
Признаки монотонности функции.
Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке (a;b).
Определение: Функция 
называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется 
(
).
Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется 
(
).
Теорема 1.
Для того чтобы функция 
, дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. 
, и достаточно, чтобы 
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых 
выполняется 
.
Þ 
Þ 
.
По определению производной: 
.
Достаточность.
Пусть 
на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х1; х2.
Тогда на (х1; х2) выполняется условие теоремы Лагранжа:
существует точка с Î(х1; х2) такая, что 
.
Þ 
(т.к. 
).
Þ 
. Þ 
возрастает на (a;b).
Ч.т.д.
Теорема 2.
Для того чтобы функция 
, дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке 
и достаточно, чтобы 
.
Доказательство проводится аналогично.
Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции 
.
.
.
Þ 
.
Экстремум функции.
Пусть функция 
определена в окрестности точки x0.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
x0 — max.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
x0 — min.
Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Если функция 
, дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная 
.
Доказательство:
Пусть для определенности точка x0 — max.
Тогда по определению существует такая ее окрестность 
, в которой выполняется неравенство 
< 
.
Т.о. на интервале 
в точке x0 функция принимает наибольшее значение 
.
Тогда по теореме Ферма: 
.
Аналогично доказывается для минимума функции.
Ч.т.д.
Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная 
не существует.
Точки, в которых производная 
либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.
Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.
Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.
Достаточное условие экстремума.
Пусть функция определена в критической точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x0. Если «при переходе» через точку x0 слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.
Доказательство:
Пусть производная меняет знак с «+» на «-».
Тогда слева от х0, т.е. на (х0-δ,х0) 
.
| y |
| x |
| 0 |
| x0 |
| f(x0) |
| x0+d |
| x0-d |
возрастает.
Справа от х0, т.е. на (х0, х0+δ) 
.
Þ справа от х0 функция 
убывает.
Т.о. в окрестности точки х0 выполняется
неравенство 
.
х0 – точка локального максимума.
Аналогично доказывается для минимума.
Ч.т.д.
Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
Þ 
, 
.
| x | (-∞;1) | x=1 | (1;3) | x=3 | (3;+∞) |
| + | 0 | – | 0 | + |
| возрастает | max
| убывает | min y(3)=1 | возрастает |
б) 
.
1. Область определения функции D(y): x¹-1.
2. 
;
.
Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
| x | (-∞;-1) | x=-1 | (-1;+∞) |
|
| + | не существует | + |
| возрастает | не существует | возрастает |
Точек экстремума нет.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.
Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.
Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.
Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:
1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.
2. Вычисляем значения функции в найденных точках.
3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.
4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка.
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).
Теорема.
Пусть 
существует и непрерывна в некоторой окрестности точки 
. Пусть . Если 
, то в точке функция имеет максимум; если 
, то в точке функция имеет минимум.
Доказательство:
Докажем для максимума.
Пусть . Пусть 
.
Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная будет отрицательна.
Так как есть производная от первой производной, т.е. 
, то из условия 
следует, что 
убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности .
Так как , Тогда слева от , т.е. на (х0-δ,х0) имеем , а справа от , т.е. на (х0, х0+δ) имеем , т.е. производная 
«при переходе» через точку x0 слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка – точка максимума.
Аналогично доказывается для минимума.
Ч.т.д.
Если в критической точке 
, то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной.
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
, 
Þ 
, 
.
3. 
.
| x | x=-1 | x=3 |
| -12 | 12 |
| max y(-1)=12 | min y(3)=-20 |
б) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
Þ 
.
3. 
.
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;+∞) |
|
| 0 | ||
| + | 0 | – |
|
| возрастает | max y(0)=1 | возрастает |
Выпуклые и вогнутые функции.
Пусть функция 
дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.
Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.
Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.
На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.
Признак выпуклости.
Пусть функция 
имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если 
, то функция выпукла на промежутке (a;b). Если 
, то функция вогнута на промежутке (a;b).
Доказательство:
Пусть для определенности на (a;b) 
.
Возьмем точку x0Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0:
(1)
Разложим функцию 
в окрестности точки x0 по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:
, 
(2)
| x |
| y |
.
на (a;b) 
.
График функции проходит над касательной.
Тогда по определению: функция выпукла.
Вогнутость доказывается аналогично.
Ч.т.д.
Замечание: Условие () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.
Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.
Необходимые условия существования точки перегиба функции.
Пусть функция 
в точке x0 имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль 
или не существует.
Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.
Достаточное условие точки перегиба функции.
Пусть 
непрерывна в окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой точки 
. Если «при переходе» через 
меняет знак, то точка 
— точка перегиба.
Доказательство:
Пусть «при переходе» через точку 
меняет знак с «+» на «-».
| + |
| - |
| x0 |
Тогда слева от точки 
— функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.
Ч.т.д.
Пример: Исследовать функцию на перегиб. 
.
D(y)=R.
; 
.
Критические точки второго рода:
: 
;
не существует: точек нет.
При переходе через точки 
вторая производная 
меняет знак.
Þ — точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции 
, если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.
Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если 
.
Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: 
.
Оказывается, что если является асимптотой, то 
и 
в уравнении определяются следующим образом 
, 
.
Доказательство:
| y |
| x |
| f(x) |
| kx+b |
| x |
| N |
| Q |
| M(x;y) |
| y=kx+b |
| асимптота |
| график функции |
По определению асимптоты: если ОМ 
, то |MN| 
0.
Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. 
.
По чертежу: 
.
Перейдем к пределу при x→±∞:
(*)
Þ 
.
.
Из (*) Þ 
.
Ч.т.д.
Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.
Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.
Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.
Пример: Найти асимптоты графика функции 
.
D(y): x¹3.
Þ x=3 – точка разрыва.
— вертикальная асимптота.
= 
;
= 
= = 
=3 Þ 
.
Þ
