Теоретические положения

Практическая работа 83

Применение интеграла к вычислению физических величин.

Теоретические положения

Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться методом интегральных сумм. Искомая величина A  = f(x)dx.

Работа переменной силы.     Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b, находится по формуле: A = .

Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k— коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растяги­вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k * 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000 х.

Искомая работа A = =

Путь, пройденный телом.   Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v =v(t). Тогда путь S, пройденный ею за промежуток времени от t   до t_2. Можно определить по формуле: S =

Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен S =

Вычисление массы стержня переменной плотности.

Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью , где - непрерывная на отрезке [a; b] функция.

Общая масса этого отрезка

Пример. Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность задаётся функцией

Решение:     ,      

 

Задания.

1 вариант.

1. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 120 Н растягивает пружину на 0,04 м?

2. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела

v(t) = 8t - 3 (м/с).

3. Вычислить массу стержня на отрезке от 2 до 5, если его плотность задаётся функцией ρ(х) =2х-1

 

2 вариант.

1..Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 120 Н растягивает пружину на 0,04 м?

2. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела

v(t) = 8t - 3 (м/с).

3. Вычислить массу стержня на отрезке от 2 до 5, если его плотность задаётся функцией ρ(х) =2х-1