Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Урок № 37.

Математика

Тема: «Определенный интеграл и его свойства».

  Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

1.Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

2.Основные свойства определенного интеграла.

3.Примеры.

Основная литература:

«Математика» 11 класс, учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

(базовый уровень), А.Г. Мордкович.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

“ Великий философ Конфуций однажды сказал: “Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький”. Выполняя домашнее задание, каждый из вас пройдёт свой путь к знанию.

Обозначение определенного интеграла.

Читается, как "определенный интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс». Числа a и b – пределы интегрирования (нижний и верхний пределы).

Определение.

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

 

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

Определенный интеграл существует только для непрерывной или кусочно-непрерывной функции.

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:  

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Подробный разбор примера. Вычислить  dx

Решение

Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y=x² является непрерывной из отрезка [1;3], тогда и интегрируема на этом отрезке.

По таблице неопределенныхинтегралов видим, что функция y=x² имеет множество первообразных для всех действительных значений x,

значит, x∈[1; 3] запишется как F(x) =  +C. Необходимо взять первообразную с С =0, тогда получаем, что F(x)=

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения: