Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Конспект урока

Математика

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Основная литература:

«Математика» 10 класс, учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

(базовый уровень), А.Г. Мордкович.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

“ Великий философ Конфуций однажды сказал: “Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький”. Выполняя домашнее задание, каждый из вас пройдёт свой путь к знанию.

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это

ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

 

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найти точки экстремума функции и определить их характер у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

Производную функции приравняем к нулю:2x-8=0

Найдем корни уравнения: х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке,

 

 

следовательно, функция возрастает при хϵ ;

убывает при хϵ

Ответ: х=4 точка минимума функции

№2 Найти точки экстремума функции и определить их характер: 𝑦 = 7 + 12𝑥 – 𝑥³

Решение:

Отмети стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

 

 

Посмотрим на наши рисунки выше, правила определения экстремумов:

точка x=-2 точка минимума функции, точка x=2 точка максимума функции.

Ответ: x=-2 точка минимума функции, x=2 точка максимума функции.

 

№3. Найдите точку минимума функции

Решение. Обратите внимание, что  , т.к. х в знаменателе.

Находим производную функции

Производную приравнять к нулю и решить уравнение.

Отмечаем точки  на числовом луче.

Эти точки разбили числовой луч на 4 промежутка:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

 

Ответ: 2-точка min функции.