2020-05-11
399
Передвинем хорду 
так, чтобы она стала параллельна стороне 
(см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол 
остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг 
и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги 
и 
равны. Углы 
и 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Все углы треугольника 
равны 60°, следовательно, треугольник 
— равносторонний, значит, 
Аналогично можно показать, что треугольник 
— равносторонний, откуда 
Рассмотрим треугольник 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник 
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы 
и 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть 
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим на 
Откуда:
Найдём 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
