Тельная скорость передачи

Передача двоичных сигналов по непрерывному каналу с аддитивным белым

гауссовским шумом

Если учесть, что скорость передачи R = Rц = H, где Rц – относительная

τ τ

cкорость передачи цифр, бит/элемент; H – энтропия источника, то эффективность системы передачи дискретных сообщений по непрерывному гауссовскому каналу с дискретным временем есть

γ = Rц = H _______________, (8.3)

С (½)· log (1+ α²)

где α²= P/N – отношение сигнал/шум в канале.

Для любого канала с аддитивным белым гауссовским шумом при скоростях передачи r < r_o cуществует такая совокупность сигналов (код), для которой вероятность ошибки может быть сделана сколь угодно малой (случайное кодирование). _

Qош. < 2 ‾ ^n(ro–r). (8.4)

Значение n, для которого правая часть неравенства равна требуемой вероятности ошибки, является верхней оценкой числа отсчётов, необходимого для её достижения.

r_o= 1 – log ₂(1 + exp (– E₁/No)) – показатель экспоненциальной оценки.

Lim r_o = 1, объём двоичного кода M = 2^TR= 2^nr, R=k/T бит/c, r = k/n – относи -

E₁/No→∞

тельная скорость передачи.

Может показаться удивительным то, что удаётся вычислить оценку для средней вероятности ошибки набора систем связи (кодов), тогда как для отдельных систем связи найти вероятность ошибки не удаётся. Это было открытием Шеннона.

Cогласно неравенству (8.4), средняя вероятность ошибки, а следовательно, и

вероятность ошибки по крайней мере для одного кода в ансамбле систем связи может быть сделана произвольно малой за счёт выбора достаточно больших n,

если только r меньше показателя экспоненциальной оценки r_o.Число отсчётов n называют длиной кодового блока.

Следует отметить, что в системе с полным двоичным кодом (система без помехоустойчивого кодирования) вероятность блоковой ошибки приёма

Qош. > np, т.е. в отличие от систем с помехоустойчивым кодированием она растёт с увеличением длины блока.

Поскольку в непрерывном канале мы используем только два сигнала (превратили непрерывный канал в дискретный), то эффективность использования

канала по скорости передачи будет невысокой. Вычислим отношение пропускных способностей двоичного симметричного канала (ДСК) и непрерывного гауссовского канала с дискретным временем.

Cд = 1 + p∙log p + (1- p)∙ log (1-p), p = 1- F(√α²) = 1- F(α) – cредняя

С (½)·log (1 + α²)

вероятность ошибки в дискретном канале, α²= Pc/Pш – отношение сигнал/шум в канале. Результаты расчёта приведены в таблице 8.1 .

Таблица 8.1 Отношение Сд/C = f(α²).

α²	p	C_д	C	C_д /С
1	0,1587	0,3688	0,5	0,7376
1,5	0,11	0,501	0,661	0,758
2*	0,07868	0,602485	0,79248	0,76
3	0,04	0,758	1	0,758
4	0,02	0,859	1,161	0,74

Максимум отношения C_д/С=0,76 лежит около α²= 2. При α²→ 0 (при бесконечном расширении полосы частот) C_д/С→ 2/π = 0,64, или пропускная способность двоичного симметричного канала в этом предельном случае равна

C_д= 2 · Pc____ , F→ ∞. (8.5)

π No·ln2

Таким образом, в двоичном симметричном канале при бесконечном расширении полосы частот и бесконечных задержках требуется мощность сигнала больше, чем в непрерывном гауссовском канале, в π/2 раз, или на 1,96 дБ.

Но для любых кодов разницу для непрерывного и двоичного каналов связи в требуемой мощности сигнала при длине кодируемого блока k>>1 можно уменьшить введением на приёме более двух уровней квантования принимаемого сигнала по амплитуде (как правило, выбирают B= 8 уровней).

С другой стороны, таблица показывает невыгодность использования непрерывной системы в качестве дискретной. Ведь при идеальном помехоустойчивом кодировании, когда кодируются бесконечно длинные сигналы, скорость передачи не будет превышать 0,76 дв.ед/cек. При реальном кодировании скорость передачи Rц значительно меньше C_ди тем более меньше С.

В то же время существует возможность повысить эффективность передачи цифр по непрерывной системе связи, если передавать не двоичные сигналы, а больший набор сигналов (m >>2).

Рассмотрим асимптотический случай: α²→ ∞, средняя вероятность ошибочного перехода в дискретном канале p→ 0.

В этом случае пропускная способность дискретного канала Cд → log m, а непрерывного канала C = ½ ·log(1 + α²) → logα..

Эффективность использования непрерывного канала по скорости

передачи γ = Cд ≈ log m ≤ 1 (8.6)

C log α

при числе состояний дискретного канала m = [α ]_м, т.е. с округлением до

ближайшего к α меньшего целого числа.

Поскольку α²→ ∞, то равенство в (8.6) выполняется для дискретного канала с болшим числом состояний (m >>2). При этом возможна передача по непрерывному каналу со сколь угодно высокой достоверностью (при n→ ∞).

Эффективность передачи непрерывных сообщений по непрерывным

каналам связи

Согласно основной теореме К.Э.Шеннона для непрерывного гауссовского канала, эффективность использования канала определяется соотношением

γ = R ≤ 1 при Q _o_ш = const

и сколь угодно высокой достоверности приёма.

Рассмотрим частный случай, когда сообщением является случайным процессом с ограниченной полосой F cпектра. Скорость передачи характеризуется ε- энтропией Hε, или величиной Rε = Hε/τ. Канал с аддитивным белым гауссовским шумом. Эффективность использования канала по скорости передачи

γ = Rε = Hε __________ ≤ 1, (8.7)

С 1/2·log (1+ α²)

α²= P___ - отношение сигнал/шум в канале с полосой F.

N_o· F

Для многих систем вводится такой показатель, как эффективность использова- ния выделенной полосы частот, т.е. частотная эффективность

γ_f = R/F– частотная эффективность. (8.8)

Исследуем асимптотическое поведение выражения (8.1).

γ = R = R/F = R/F________ = γ_f ________. (8.9)

_{___} С С/F log (1+ β·С/F) log (1+ β·С/F)

Введённый параметр β определяется как отношение расхода энергиии на бит к односторонней спектральной плотности мощности шума. Он является основной энергетической характеристикой передающей системы.

β = E____ = P · n · τ = P · n____ = α²__ = α²__ . C другой стороны, отношение

No·k No·k No·2F·k 2·k/n R/F

P n τ = P___. В итоге β = E _бит = P___ = α²_ . (8.10)

No·k No·R No No·R R/F

В пределе для сверхширокополосного канала, когда полоса канала F→ ∞ (С→ P______, отношение сигнал/шум α²→ 0) эффективность использования

F No·F·ln2

гауссовского канала γ = R = R_______ ≤ ₁_, (8.11)

C P/(No·ln2)

т.к.должно выполняться условие согласования с каналом в виде неравенства R ≤ C.

При этом по каналу возможна безошибочная передача c относительной скоростью

1 · log (1 +β·С/F) = 1 · ln (1 +β·С/F) ≈ 1 · β·С/F = 1 ·С/F бит/отсчёт, т.к при F→∞

2 2 ln2 2 ln2 2

β_ид→ ln2.

Поведение С и β

При полосе канала F→0 С→0. Т.к..условием безошибочной передачи является неравенство R ≤ C, то передача по каналу невозможна и эффективность использования канала γ → 0.

При полосе канала F→∞ C_∞ = F·log (1 + P/(No· F)) = F· ln(1+ P/(No· F)) ≈

ln2

F·P/(No· F) = P , (8.12)

ln2 No· ln2

имеет максимальное значение и не зависит от полосы частот.

В узкополосной, или в безызбыточной системе связи на каждый отсчёт передаётся одна двоичная единица информации

1 · log (1 +β·С/F) = 1 бит/отсчёт, C = 1/τ = 2F. Cледовательно, C/F = 2. Тогда

2 = log (1 +β·С/F), откуда β_ид_. = E_бит/No = 1,5 = 1,76 дБ.

При R/F ≤ С/F эффективность узкополосной (безызбыточной) системы

γ ≤ С/F________ = 2__________ = 1.

log (1+ β·С/F) log(1 + 1,5·2)

Проанализируем поведение β_ид в функции от отношения С/F.

C/F = log (1 +β·С/F), откуда

β_ид = Ебит/No = 2^C/F ─ 1. (8.13)

C/F

Сделаем замену переменной C/F = 1/h. Тогда

β_ид = (2^{1/ h} ─ 1)·h. (8.14)

При h→ 0 C/F→ ∞, β_ид→ ∞; при h→ ∞ C/F→ 0, β_ид = ln2 = 0,693 = ─ 1,6 дБ.

График зависимости β_ид= f (h) = f (1/(C/F)) приводится на рис.8.1.

Рис.8.1. Зависимость β_ид= f (h) = f(1/(C/F)).

Для непрерывного канала с аддитивным белым гауссовским шумом и беско - нечной шириной полосы частот F P.Дж.Галлагером предложена лучшая верхняя оценка достижимой вероятности блоковой ошибки при передаче и приёме в этом канале.

Qош. < 2·2 ^{─ T·E*(R)} , (8.15)

1 C_∞─ R, 0 ≤ R ≤ 1 · C_∞;

где Е*(R) = 2 4

(√C_∞─√ R)², 1 ·C_∞ ≤ R ≤ C_∞.

Коэффициент в показателе экспоненты Е*(R) называется функцией надёжности канала. Cогласно верхней границе (8.15), при бесконечном увеличении времени передачи T блокового кода (или его длины) может быть достигнута сколь угодно малая вероятность ошибки приёма (декодирования) блока.

Оптимальными помехоустойчивыми кодами для приёма в этом канале являют - ся коды плотнейшей поверхностно – cферической укладки (коды с максимизиро - ванными и выровненными минимальными расстояниями между кодовыми сложными сигналами). К ним относятся симплексные, биортогональные и ортого -нальные (при n>>1) коды. При n>>1 в данном канале эти коды обеспечивают вероятность ошибки декодирования блока Qош.→ 0.

В частности, для ортогональных кодов вероятность ошибки стремится к нулю экспоненциально с ростом Т, пока скорость передачи R удовлетворяет неравен - ству

R < P_______, т.е. при β = P > 2ln2.

No · 2ln2 No ·R

Другими словами, при приёме ортогональных кодов (n → ∞)

0, P_______ >1;

Qош.= No · R · 2ln2

1 P_______ < 1.

No · R · 2ln2

При длине кода n → ∞ полоса канала F также неограниченно возрастает. Эффективность использования ортогональным кодом гауссовского канала γ = R/C < ½,

а частотная эффективность кода γ_f = R/F = 2·k = 2·log n. Lim R/F = 0.

n n n→ ∞

Низкая частотная эффективность γ_f, которая,к тому же, резко снижается при увеличении длины n кода является недостатком симплексных, биортогональных и ортогональных кодов.

До сих пор мы анализировали эффективность использования канала по пропускной способности (скоростной критерий). При этом предполагалось, что сравнение систем выполняется при высокой и одинаковой достоверности приёма.

Энергетическая эффективность использования канала может быть сформули ─ рована в виде

γ_э = β _ид при R = C и q _бит→ 0. (8.16)

β F F

Сравнение реальных систем по энергетической характеристике β определяется как выигрыш кодирования (Coding Gain)

CG = β₁ при q _бит1= q _бит2· (8.17)

β₂

Эффективность и избыточность

В предыдущих параграфах рассматривалась передача дискретных сообщений и квантованных непрерывных сообщений. Во всех случаях

скорость следования двоичных цифр рассматривалась как скорость создания сообщения. Однако при наличии избыточности число двоичных цифр, описывающих сообщения, больше, чем энтропия сообщения.

Можно ввести два коэффициента для квантованного непрерывного сообщения:

1) γ_{описания} = Нε – эффективность описания качества квантования,

2) γ_{передачи} = Н – эффективность передачи цифр по каналу передачи информа-

С ции с пропускной способностью С.

Полная эффективность γ = γ_{описания∙}γ_{передачи =} Нε. (8.18)

γ зависит от обоих параметров и каждый из них влияет на другой.

При передаче таких(сжатых) сообщений по радиоканалу необходимо вводить мощное помехоустойчивое кодирование, т.к. при этом не потребуется увеличивать энергетику радиолинии для обеспечения высокой достоверности передачи информации. Простое же увеличение энергетического потенциала радиолинии нецелесообразно, т.к. это снижает (или полностью аннулирует) энергетический выигрыш, который получен за счёт снижения скорости передачи при сокращении избыточности.

Таким образом, совместное применение алгоритмов сжатия и помехоустой - чивого (канального) кодирования информаци позволяет снизить приёмно – передающий потенциал в радиолинии как за счёт снижения скорости передачи (сокращения избыточности до уровня энтропии при заданном качестве), так и за счёт минимизации расхода энергии на бит при применении мощных помехоус -тойчивых кодов, обеспечивающих высокую достоверность приёма передаваемых сообщений.