Проверка гипотезы о равенстве генеральных долей двух нормальных совокупностей

Имеются две совокупности, генеральные доли признака в которых равны p₁ и p₂. Нулевая гипотеза заключается в равенстве генеральных долей: H₀: p₁ = p₂. Из этих совокупностей возьмём две независимые выборки достаточно большого объёма n₁ и n₂. Были вычислены выборочные доли признака: и . При больших объёмах выборок выборочные доли w₁ и w₂  имеют приближённо нормальный закон распределения. В этом случае и разность выборочных долей w₁ – w₂ будет соответствовать нормальному закону распределения. В качестве статистического критерия можно воспользоваться t-критерием Стьюдента с k = n₁ + n₂ – 2 степенями свободы:

где  – наилучшая оценка доли, равная выборочной доле признака, если две выборки смешать в одну: . Выбор критической области и проверка гипотезы осуществляется так же, как и для генеральных средних.

Пример 3. Студенты двух групп разной численности выполнили контрольную работу по статистике. В первой группе из 110 предложенных задач верно было решено 66, во второй группе из 140 задач верно было решено 91. На уровне значимости 0,02 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в усвоении учебного материала по статистике студентами обеих групп.

Решение. Сформулируем нулевую гипотезу: H₀: p₁ = p₂ = p. В качестве альтернативной гипотезы возьмём H₁: p₁ ≠ p₂.

Рассчитаем выборочные доли для каждой из двух групп:

Наилучшая оценка вероятности:

Найдём наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента:

Учитывая альтернативную гипотезу, необходимо выбрать двустороннюю критическую область. Критическое значение t-критерия Стьюдента находим из условия:

Ф(t_кр) = 1 – α = 1 – 0,02 = 0,98.

Отсюда t_кр = 2,33.

Так как |t_н| < t_кр (0,82 < 2,33), то гипотеза H₀ принимается. В целом можно говорить об одинаковом уровне усвоения учебного материала студентами обеих групп.