Полная группа событий

Повторение курса теории вероятностей в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ.

1. Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

А - пошли на дискотеку; B - пошли в библиотеку, тогда (А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P(A) + P(B).

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

P (A) = 10/30 = 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P (В) = 5/30 = 1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

По формуле искомая вероятность

P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

Пример. Вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске будет 1/3, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) несовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: 1/6 + 1/6 =1/3.

Полная группа событий.

Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Приммер. Для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:

– в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
– … 2 очка;
– … 3 очка;
– … 4 очка;
– … 5 очков;
– … 6 очков.

События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий).