Глава 5. Дискретное преобразование фурье

Установим теперь, как и при каких условиях можно определить спектральную плотность непрерывного сигнала X(jω) через его отсчеты в дискретные моменты времени, т. е. через значения дискретного сигнала x_д(n) = x_д(nT_д). Для этого запишем общее выражение для спектральной плотности МИП — модели дискретного сигнала в непрерывном времени:

Подставляя выражение для МИП (1.3), получаем:

 

Откуда, с учетом «фильтрующего свойства» δ-функции, окончательно приходим к соотношению:

Это выражение называется прямым дискретным по времени преобразованием Фурье (ДВПФ).

Раскладывая экспоненты по формуле Эйлера, нетрудно показать, что для вещественных последовательностей:

т.е. спектральная плотность амплитуд вещественной последовательности является четной, а спектральная плотность фаз — нечетной функцией частоты.

При выполнении условий теоремы отсчетов спектральная плотность X_и(jω) в основной полосе (–π/T_д ≤ ω ≤ π/T_д) совпадает с точностью до множителя 1/T_д со спектром непрерывного сигнала, что позволяет рассчитать последний через отсчеты:

 

Обратное ДВПФ получается из формулы обратного преобразования Фурье подстановкой t = nT_д:

При выполнении условий теоремы уиттекера — котельникова — шеннона бесконечные пределы интегрирования можно заменить на конечные.

                             

                     А спектральную плотность непрерывного сигнала — на спектральную плотность МИП. В результате получим выражение для обратного ДВПФ в виде

Обратим внимание на то, что в выражениях ДВПФ (1.21) и (1.25) спектральная плотность дискретного сигнала остается непрерывной функцией частоты и может быть вычислена через дискретные отсчеты.

Отметим также, что выражения (1.23) и (1.25) справедливы только для сигналов с ограниченным спектром, в то время как (1.21) справедливо всегда, в том числе и при наличии эффекта наложения.

Рассмотрим теперь особенности спектрального представления сигнала, заданного на конечном интервале наблюдения, длительностью T. После дискретизации такой сигнал x _д(n) на отрезке [0, T ] представляется конечным числом отсчетов: x (0), x (1),..., x_{N – 1}, взятых через интервал дискретизации T _д. Полное число отсчетов N = T / T _д. Считается, что никакой другой информации о спектральных  свойствах сигнала x _д(n), кроме этих отсчетов, нет (рис. 1.4, а).

Методика изучения таких дискретных сигналов — искусственная периодизация с последующим разложением в ряд Фурье дискретного периодического сигнала, точнее, его модели — модулированной импульсной последовательности (рис. 1.4, б).

 

МИП на интервале наблюдения описывается выражением

Соответствующая ему искусственно периодизированная МИП x _ип(t), как любой периодический сигнал, может быть представлена комплексным рядом Фурье:

Коэффициенты этого ряда вычисляются по общей для преобразования Фурье формуле

В этом выражении на интервале интегрирования периодическая МИП совпадает с непериодической. Поэтому, подставляя в (1.28) выражение (1.26), получим:

Откуда, с учетом «фильтрующего» свойства δ-функции, получаем:

В этом выражении связь с временным масштабом определяет только сомножитель 1/ T.

 

Рис. 1.4. дискретный сигнал на конечном интервале, его искусственная периодизация (а) и соответствующие им модулированные импульсные последовательности (б)

Прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называют выражение

Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу, что коэффициенты ДПФ X (k) — это коэффициенты разложения в ряд Фурье периодического импульсного сигнала (МИП), площади импульсов которого равны x (n).

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ)определяется выражением

 

где ядро преобразования обозначено как

Справедливость (1.32) доказывается путем прямой подстановки в него выражения прямого ДПФ:

Внутренняя сумма представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии, поэтому

что и превращает выражение (1.33) в тождество.

 

Отметим основные свойства ДПФ:

1. Линейность преобразования.

Коэффициенты ДПФ дискретной последовательности y (n) = = ax ₁(n) + by ₁(n) определяются суммой ДПФ коэффициентов: Y (k) = a X ₁(k) + b X ₂(k).

2. Периодичность коэффициентов ДПФ.

Число различных коэффициентов X (k) равно числу отсчетов дискретного сигнала за период N, ибо функция W _N^–kn периодична по k с периодом N. Поэтому X (N) = X (0), X (N + 1) = X (1),..., X (k ₁ + N) = X (k ₁), k ₁ < N.

При этом коэффициент X (0)— постоянная составляющая, представляет собой среднее значение по всем отсчетам:

3. Симметрия коэффициентов ДПФ.

Если x (n) — вещественная последовательность, то коэффициенты ДПФ, номера которых симметричны относительно N /2, образуют комплексно-сопряженные пары. Для доказательства этого свойства запишем выражение для коэффициента ДПФ с номером N – k:

С учетом того, что W _N^–Nn = 1, получаем:

То есть

4. ДПФ сдвинутой последовательности.

Если y (n)— последовательность, образованная путем сдвига периодической (с периодом N) последовательности x (n) на m отсчетов (m < N), то ее ДПФ-коэффициенты

действительно:

Произведя замену переменных n ₁ = n + m и учитывая, что x (n ₁) W _N^{–kn 1} — периодическая последовательность с периодом N,получаем:

5. ДПФ симметричной последовательности.

Если x (n) = x (N – n), т. е. дискретная последовательность образована путем дискретизации четной функции времени, то ее ДПФ коэффициенты являются вещественными. (доказывается путем представления W _N^–kn + W _N^km по формуле Эйлера.)

6. Сдвиг коэффициентов ДПФ.

Определим, какой дискретной последовательности соответствуют коэффициенты ДПФ, сдвинутые по частоте на l отсчетов:

Таким образом, коэффициенты ДПФ, сдвинутые по частоте на l отсчетов, соответствуют дискретной последовательности, умноженной на W _N^kn.

Такая последовательность образуется в результате операции цифрового гетеродинирования:

                           y (n) = x (n) W _N^–nl.                        (1.38)

7. ДПФ круговой, или циклической свертки двух последовательностей.

Круговой, или циклической сверткой двух периодических (с периодом N)дискретных последовательностей x (n)и h (n)называется последовательность y (n), образованная следующим образом:

Последовательность y (n) — периодическая, с тем же периодом.

Выражение для коэффициентов ДПФ циклической свертки найдем через соответствующие обратные ДПФ:

Подставив (1.40) и (1.41) в (1.39), получим:

Поскольку

То

Откуда следует, что

т.е. ДПФ циклической свертки равно произведению соответствующих коэффициентов ДПФ.

Последнее свойство является очень важным для цифровой обработки сигналов, поскольку позволяет использовать ДПФ для вычисления реакции на выходе цифрового фильтра, которая, как будет показано ниже, описывается линейной сверткой входной последовательности и импульсной характеристики фильтра.

В заключение установим связь между спектральной плотностью непериодического аналогового сигнала X (j ω), спектральной плотностью МИП X _и(j ω) и коэффициентами ДПФ X (k).

Коэффициенты разложения в ряд Фурье периодического сигнала определяются значениями спектральной плотности соответствующего непериодического сигнала на частотах, кратных частоте повторения. В частности, для модели дискретного сигнала — периодической МИП:

Как показано при определении ДПФ, коэффициенты разложения в ряд Фурье периодического импульсного сигнала (искусственно периодизированной МИП) вычисляются по формуле

Из сопоставления этого выражения с выражением для коэффициентов ДПФ (1.31) следует, что коэффициенты ДПФ представляют собой отсчеты спектральной плотности непериодической МИП на частотах, кратных 2 π/ T:

Откуда с учетом выражения (1.10) получаем связь между коэффициентами ДПФ и спектральной плотностью аналогового сигнала:

Приведенные соотношения проиллюстрированы на рис. 1.5.

Рис. 1.5. соотношения между спектрами аналогового сигнала, импульсной последовательности и ДПФ: а — аналоговый сигнал; б — МИП; в — периодическая МИП; г — дискретный сигнал на конечном интервале