Экономическая интерпретация двойственной задачи

Составим и решим симплексным методом задачу, двойственную задаче об использовании сырья, сформулированной в 2.4 (см. пример 4). Экономико-математическая модель формулируется так: найти максимум функции F= 6х₁ + + 2х₂ + 2,5х₃ + 4х₄, выражающей прибыль предприятия, при следующих ограничениях:

Решение задачи симплексным методом привело к следующему результату: максимальное значение функции F, равное 1050 ден. ед., достигается при оптимальном решении (0, 225, 0, 150, 475, 0, 0). Первые четыре компоненты этого решения дают оптимальный план выпуска продукции, а последние три -остатки сырья видов I, II и III.

Рассмотрим эту задачу как исходную и составим двойственную ей. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ - транспонированная матрица В - имеют следующий вид:

В двойственной задаче нужно найти минимум функции

Z = 1000y₁ + 600y₂ +150,

при ограничениях

Систему ограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:

Применив теперь алгоритм симплекс-метода, решим поставленную задачу: Z_min= 1050. Оптимальное решение (0; 1; 3; 1; 0; 5.5; 0).

Запишем соответствующие переменные прямой и двойственной задач:

x1   x2  x3  x4                y4      y5      y6 y7

x5 x6   x7                   y1      y2  y3

Компоненты у₁, у₂, у₃ оптимального решения двойственной задачи оценивают добавочные переменные х₅, х₆, х₇ прямой задачи.

Равенство нулю переменной у₁ в оптимальном решении свидетельствует о том, что переменная х₅ положительна в оптимальном решении прямой задачи, или что подстановка компонент оптимального решения в первое неравенство системы ограничений прямой задачи не обращает его в строгое равенство.

Переменные у₂, у₃ положительны, а соответствующие им переменные прямой задачи х₆, х₇ равны нулю в оптимальном решении прямой задачи. Подстановка компонент оптимального решения во второе и третье неравенства прямой задачи обращает их в строгие равенства.

Экономический смысл этого обстоятельства состоит в том, что сырья вида I у нас имеется с излишком и мы не особенно «дорожим» им, поэтому устанавливаем для него нулевую оценку, а вот сырье видов II и III является дефицитным, оно все целиком расходуется, поэтому мы оцениваем эти виды сырья некоторыми положительными оценками (у₂ = 1, у₃ = 3).

Как оценить единицу сырья каждого вида в зависимости от той прибыли, которую приносит предприятию реализация продукции А₁, А₂, А₃, А₄? Подчеркнем, что речь идет не о стоимости сырья при его приобретении предприятием. Нас интересует относительная стоимость сырья с точки зрения получения максимальной прибыли при изменении его запасов. Ясно, что ценность того или иного вида сырья будет определяться величиной роста максимальной прибыли при увеличении, например  запаса сырья i-го вида.

Cогласно выводу из теоремы об оценках DF_max = y_iDb_i.

В этой формуле у_i -компонента оптимального решения двойственной задачи. Здесь особенно ощутимо видна стоимостная сущность переменных двойственной задачи. Они выступают как условные цены единицы i-го вида сырья. Поэтому переменные двойственной задачи часто называют объективно обусловленными оценками.

Вернемся к оптимальному плану двойственной задачи. При этом нас будут интересовать только первые три компоненты: у₁ = 0, у₂ = 1, у₃ = 3 этого решения, которые соответствуют добавочным переменным прямой задачи х₅, х₆, х₇, выражающим величины остатков сырья видов I, II, III.

Ответим на вопрос: как изменится оптимальный план выпуска продукции, а вместе с ним и максимальная прибыль, если увеличивать запасы сырья каждого вида?

Пусть запас сырья вида I увеличился на 100 усл. ед. Пользуясь формулой (5.3), получим

DF_max = y₁Db₁ = 0_*100 = 0,

т. е. прибыль не увеличится, оптимальное решение не изменится. Последний вывод закономерен, ибо выпуск продукции в условиях прямой задачи лимитируется наличием сырья видов II, III.

Увеличим на 100 ед. запас сырья вида II. Тогда

DF_max = y_2*100 = 1_*100 = 100 ден. ед.

Решая прямую задачу симплексным методом (рекомендуется сделать самостоятельно) с измененной правой частью второго ограничения-неравенства: 4х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄  700, получим оптимальное решение

(0, 275, 0, 150, 425, 0; 0).

Увеличив на 100 усл. ед. запас сырья III, получим

DF_max = y_3*100 = 3_*100 = 300 ден. ед.

При этом измененном условии максимальная прибыль равна 1350 усл. ед. при оптимальном плане (0, 175, 0, 250, 325, 0, 0). В справедливости последнего утверждения можно убедиться, решив симплексным методом прямую задачу с измененной правой частью третьего ограничения-неравенства: х₁ + 2х₃ + х₄ £ 250.