Математические свойства средней арифметической

Средняя арифметическая, обладая в полной мере общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:

å(V-M) = 0                                                    (1)

т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.

Например, для значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая М = 4. Центральные отклонения будут следующие: 1 - 4 = -3; 4 - 4 =0;
5 - 4 = +1; 5 - 4= + 1; 5 - 4= +1, а сумма центральных отклонений

-3+0+1+1+1=0

Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета: если å(V - М)оказалась неравной нулю, значит допущена ошибка в вычислениях.

                      (2)

т. е. сумма условных отклонений (отклонений дат от любого значения не равного средней) не есть нуль. Если же эту сумму распределить равномерно по всем датам, то полученная величина  покажет, как далеко средняя арифметическая отстоит от принятой в данном случае условной средней.

Например, для пяти значений: 1; 4; 5; 5; 5 отклонения от условной средней, например от.А=5, следующие: 1 – 5 = -4; 4 - 5 = -1; 5 - 5 = 0;
5 - 5 = 0; 5 - 5 = 0. Сумма условных отклонений

å(V - A)=-4 – 1 + 0 +0 + 0= -5.

На каждую дату приходится отклонение

Это означает, что средняя арифметическая меньше данной условной средней на единицу и чтобы получить значение средней арифметической, надо по приведенной формуле  к условной средней прибавить полученную (в данном случае отрицательную) поправку: М=5+(-1)=4. Полученная величина в точности равна значению средней арифметической.

Если для этого примера взять другую условную среднюю, например, А = 2, то сумма условных отклонений

å(V - A) = (1 - 2) + (4 - 2) + (5 - 2) + (5 - 2) + (5 - 2)= +10,

а средняя

т. е. такая же, как при непосредственном расчете.

Описываемое свойство средней арифметической используется для облегчения вычислительной работы при многочисленных группах. Когда усредняется большое количество значений, гораздо легче рассчитывать среднюю арифметическую не непосредственно, а через условную среднюю по формуле . Как это делается, будет показано ниже
å(V – M)²"min; å(V – M)²<å(V – A)²                                (3)

т. е. сумма квадратов центральных отклонений меньше суммы квадратов отклонений от любой другой величины

 

Средняя М=4	V	1	2	3	4	5	М=4
	D=(V-M)	-3	0	+1	+1	+1	åD=0
	D=(V-M)2	9	0	1	1	1	åD2 = 12
Условная средняя А=5	(V-A)	-4	-1	0	0	0	å(V-A)=-5
	(V-A)2	16	1	0	0	0	å(V-A)2=17
Условная средняя А=2	(V-A)	-1	+2	+3	+3	+3	å(V-A)= 10
	(V-A)2	1	4	9	9	9	å(V-A)2= 32

 

Сумма квадратов центральных отклонений для приведенного примера оказалась равной 12, в то время как сумма квадратов условных отклонений при любой условной средней больше 12.

Описанная особенность средней арифметической положена в основу способа наименьших квадратов, который применяется при изучении степени и формы зависимости какого-либо признака от одного или нескольких влияний.

               (4)

т. е. сумму квадратов центральных отклонений можно получить через условные отклонения. Для разбираемого примера при A = 5

å(V - A)=-5; åD²=å(V - A)² = 17, откуда

Эта особенность средней арифметической используется для облегчения вычислительной работы при анализе многочисленных групп. В таких случаях гораздо легче получить сумму квадратов центральных отклонений не непосредственно, а через условные отклонения по указанной формуле.

.                            (5)

Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину а (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных дат будет равна средней арифметической из первоначальных дат увеличенной (или уменьшенной) на величину а.

Так, если в разбираемом примере к каждой из первоначальных дат 1; 4; 5; 5; 5 прибавить 3, то для полученных величин 4; 7; 8; 8; 8 средняя М=7 ровно на 3 больше первоначальной средней М=4. Если в этой группе из каждого значения вычесть, например, 1, то для уменьшенных значений 0;. 3; 4; 4; 4, средняя М=3 будет на 1 меньше первоначальной средней М =4.

Это свойство средней широко используется при вычислении средней арифметической для больших групп при многозначных датах, что значительно упрощает и облегчает счетную работу.

т. е, если каждое значение умножить на постоянное число а, то средняя арифметическая из измененных дат будет точно в а раз больше первоначальной средней арифметической.

Так, если в разбираемом примере все значения 1; 4; 5; 5; 5 умножить на 10, то для полученных увеличенных дат (10; 40; 50; 50; 50) средняя арифметическая М = 40ровно в 10 раз больше той, которая получена для не увеличенных дат (М = 4).

Если а равно дробному числу, то каждая дата, а также и каждая средняя будут уменьшены в столько же раз. Если в разбираемом примере все даты умножить на Vs. то средняя арифметическая из уменьшенных дат (0,2; 0,8; 1; 1; 1) М=0,8 точно в 5 раз меньше средней арифметической, полученной для неизменных дат (М=4).

Это свойство средней арифметической также широко используется при преобразовании дат и при работе с многочисленными группами для облегчения счетной работы.