Взвешенная средняя арифметическая

Обычно, как уже указывалось, чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают все значения признака и полученную сумму делят на число дат. В этом случае каждое значение входит в сумму одинаковым образом, увеличивая ер на полную свою величину. Но не всегда это возможно. Иногда значения признака должны входить в сумму с неодинаковой поправкой. Эта поправка, выраженная определенным множителем, называется математическим весом значения.

Средняя, рассчитанная для значений признака с неодинаковыми весами, называется взвешенной средней. Взвешенная средняя арифметическая рассчитывается по следующей формуле:

V – значение признака, дата. p – математический вес усредняемого значения.

Чтобы рассчитать взвешенную среднюю арифметическую, необходимо каждое значение признака помножить на его вес, все эти произведения сложить и полученную сумму разделить на сумму весов.

Пример 8. Имеются результаты 2-х исследований длины хобота пчёл: в одном случае получена средняя длина хоботка 6,6 мм в другом 6,0 мм. Требуется получить общую среднюю, причём известно, что в первом исследовании были измерены хоботки у 100 пчёл, а во втором – у 20.

В данном случае значениями признака является среднее М₁=6,6 и
М₂= 6,0; их весами – численности групп P₁= 100 и P₂= 20. Взвешенная средняя арифметическая рассчитывается следующим образом:

Пример 9. В 100 кг кормовой смеси содержатся следующие количества отдельных кормов. Требуется определить содержание белка в данной смеси.

50 кг сено содержит 3% белка.

10 кг молотая овсяная солома содержит 1% белка.

Дроблённый жмых, подсолнух и ячмень – 20 кг содержат 33% белка.

Отруби пшеничные грубые 20 кг содержат 11% белка.

Необходимо рассчитать взвешенную среднюю арифметическую. В данном случае значениями признака является содержание белка в отдельных кормах: 3; 1; 33; 11%, а их математическими весами – физическая масса кормов, входящих в смесь: 50; 10; 20 и 20 кг. Содержание в смеси переваримого белка

т.е. в каждом килограмме смеси содержится 104 г. перевариваемого белка.

Таким же способом рассчитываются средние выхода продукта по нескольким партиям сырья.

Пример 10. Проведено три независимых наблюдения числа сокращений пульсирующей вакуоли у амебы в определенной среде. В первом наблюдении зарегистрировано 24 сокращения в час, во втором – 16 и в третьем – 23, причем первое наблюдение длилось 4, второе – 2 и третье – 3 часа. Для определения среднего числа сокращений в час в данном случае необходимо найти взвешенную среднюю арифметическую. Значениями признака будут наблюдавшиеся количества сокращений в час (24, 16 и 23), их весами – продолжительность отдельных наблюдений (4, 2 и 3 часа). Следовательно

Пример 11. В качестве индивидуальной характеристики жирномолочности каждой отдельной коровы у нас принята взвешенная средняя арифметическая из измерений процента жира в молоке.в пробах За 2 смежных дня в каждом месяце лактации. Определение этой характе­ристики можно показать на следующем примере.

Лактация коровы началась 20 марта 2005 г. и закончилась 17 февраля 2006 г. Продолжительность лактации – 334 дня. Удой за всю лактацию – 4160 кг, за последние 34 дня надоено 190 кг, поэтому удой за 300 дней лактации равен 4160 - 190 = 3970 кг. Удои по месяцам и процент жира в молоке даны в таблице 2.

В данном случае значениями признака является жирность молока (в %) по месяцам, математическими весами – их месячные удои. Средний процент жира в молоке за 300 дней лактации вычисляется путем деления количества однопроцентного молока (сумма произведений месячных процентов жира на месячные удоя) на удой за 300 дней: