Нули, выбросы, перегибы траектории и другие особые точки случайного процесса

1 2

Лекция 7

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Задачи структурного анализа

Рассмотрим некоторую реализацию случайного процесса (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Отметим на ней характерные точки, соответствующие им значения процесса и интервалы времени между ними:

- точки пересечения среднего (нулевого) уровня, называемые нулями процесса;

- точки, соответствующие экстремальным значениям процесса, которые называются экстремумами процесса;

- точку А, соответствующую наибольшему для данной реализации максимуму процесса, называемую абсолютным максимумом процесса;

- точку В, соответствующую перегибу траектории процесса, называемую точкой перегиба;

- точки пересечения случайного процесса с некоторым уровнем, определяющие число превышений (выбросов) за этот уровень;

- интервалы времени между двумя соседними нулями, от которых зависит частота процесса, рассчитанная по пересечениям нулевого уровня (частота по нулям);

- интервал времени , которые соответствуют двум соседним экстремумам, определяющие частоту процесса по экстремумам;

- отрезки и между нулевой линией и соответствующим экстремумом, называемые экстремальными значениями процесса (максимумом и минимумом);

- отрезок между нулевой линией и наибольшим максимумом процесса, называемый значением абсолютного максимума;

- приращение процесса между двумя соседними экстремумами, называемое размахом процесса.

Получение вероятностной информации о количестве указанных выше точек за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков по заданным вероятностным характеристикам процессов (по корреляционным функциям или энергетическим спектрам) является задачей структурного анализа случайных процессов.

Нули, выбросы, перегибы траектории и другие особые точки случайного процесса

Число пересечений нулевого уровня (число нулей) некоторой функции в течение времени можно найти по формуле (функционал Стайнберга)

где дельта-функция.

Поскольку при дифференцировании функции ее экстремумы переходят в нули, то из (4.1) число экстремумов функции за время можно найти по формуле

Число точек перегиба траектории, в которых вторая производная равна нулю:

Обобщив соотношения (4.1) – (4.3), получим следующее выражение для нахождения числа особых точек траектории функции , в которых ее по счету производная равна нулю:

В случае, когда случайная функция, для определения вероятностных характеристик числа особых точек следует ввести соответствующие функции распределения вероятностей случайных величин и рассмотреть приведенные выше соотношения как функции случайных аргументов. Так, если через обозначить плотность совместного распределения вероятностей функции и ее производной для некоторого момента времени среднее число нулей этой функции за время t

Определение числа превышений процессом некоторого уровня х сводится к определению числа нулей разности . Если случайная функция стационарна, из (4.5) получаем следующее выражение для нахождения среднего числа превышений процессом уровня х в единицу времени:

При этом среднее число пересечений нулевого уровня (т.е. среднее число нулей) в единицу времени

По аналогии с (4.6) получаем выражения для определения среднего числа экстремумов и точек перегиба траектории в единицу времени:

где ) - плотность совместного распределения вероятностей первой и второй производных при плотность совместного распределения вероятностей второй и третьей производных при =0.