Примеры использования

ТЕМА: «Формулы половинного угла в тригонометрии».

Список формул половинного угла

Для начала перечислим все формулы половинного угла:

Доказательство формул половинного угла

Из формулы соs2х=соs² x-sin² x при х =  получаем cosα   = соs²  -sin²  (1)

Выпишем основное тригонометрическое тождество в виде соs²  +sin² =1(2)

Складывая равенства (1) и (2) получим: 1+ cosα = соs²  -sin²  + соs²  +sin² =

2 соs² (3)

Вычитая из равенства (2) равенство (1) получим: 1- cosα = соs²  +sin²  - соs²  +sin² =2 sin² (4)

Из формулы (3) получим: соs² = (5)

Из формулы (4) получим: sin ² = (6)

Разделим равенство (6) на равенство (5), а затем равенство (5) на равенство (6) получим:

 

Так мы доказали все формулы половинного угла.

Примеры использования

Пример.

Зная, что , вычислите при помощи формулы половинного угла значение косинуса 15 градусов.

Решение.

Формула половинного угла для косинуса имеет вид , тогда . Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса.

Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как , то .

Ответ:

.

Обязательно стоит обратить Ваше внимание, что для применения формул половинного угла аргументы не обязательно должны иметь явный вид и , главное – чтобы аргумент в правой части формул половинного угла был вдвое больше аргумента в левой части формул. К примеру, формула половинного угла для синуса позволяет записать равенство или .

отдельного рассмотрения.

Пример№2.

Вычислить соs  , если cosα=-0,02 и 0<α<π

Решение:

 соs² = =0,49. Так как 0 < α < π, то 0 < < , поэтому соs >0, таким образом соs = = 7

Ответ: соs = 7

Пример№3.

Вычислить tg , если cosα=0,8 и π <α< 2π.

Решение: tg ² = = = = = . Так как π <α< 2π, то < < , поэтому tg < 0, отсюда tg = = .

Ответ: tg = .

Пример№4. 

Упростите выражение tg 2  -

Решение: tg 2  - = tg 2 * tg 2  - соs2 =1- соs2 = sin 2

Ответ: sin 2

Пример№5.

Вычислить 2соs2  - 1= 2  - 1 = 1+  - 1 =

Ответ:

Пример№6.

Вычислить  + 2sin 2 150 =  +2  =

Ответ: 1

Пример№7

Вычислить sin  ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.

Решение: sin ² =

sin 2  =  =  = 0,2. Так как 2π <α< 3π, то  < <  (3 четверть), значит sin  = -

Ответ: -

Пример№8

Вычислить соs  ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.

Решение: соs2 =

соs2 =  =  = 0,8. Так как (3 четверть), то соs  =

Ответ: -

Пример№9

Вычислить tg ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.

Решение: tg ² = = = = = . Так как (3 четверть), то 

tg  = = .

Ответ:

Пример№10

Вычислить сtg ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.

Решение: Так как сtg , то сtg  =   = 2

Ответ: 2

Пример№11

Упростить выражение:

Решение: Так как sin ² = , то 1- cosα = 2 sin²  , отсюда . Пусть  sin  соs , тогда получим:  =  *  =  = tg

Ответ: tg

Пример№12

Упростить выражение:

Решение: Так как соs² =  , то 1+ cosα = 2 соs²  . Пусть так же  sin  соs , тогда получим: =  *  =  = tg

Ответ: tg