2020-05-11
316
ТЕМА: «Формулы половинного угла в тригонометрии».
Список формул половинного угла
Для начала перечислим все формулы половинного угла:
Доказательство формул половинного угла
Из формулы соs2х=соs2 x-sin2 x при х = 
получаем cosα = соs2 -sin2 
(1)
Выпишем основное тригонометрическое тождество в виде соs2 +sin2 =1(2)
Складывая равенства (1) и (2) получим: 1+ cosα = соs2 -sin2 + соs2 +sin2 
=
2 соs2 (3)
Вычитая из равенства (2) равенство (1) получим: 1- cosα = соs2 +sin2 - соs2 +sin2 
=2 sin2 (4)
Из формулы (3) получим: соs2 = 
(5)
Из формулы (4) получим: sin 2 = 
(6)
Разделим равенство (6) на равенство (5), а затем равенство (5) на равенство (6) получим:
Так мы доказали все формулы половинного угла.
Примеры использования
Пример.
Зная, что 
, вычислите при помощи формулы половинного угла значение косинуса 15 градусов.
Решение.
Формула половинного угла для косинуса имеет вид 
, тогда 
. Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса.
|
|
|
Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как 
, то 
.
Ответ:
.
Обязательно стоит обратить Ваше внимание, что для применения формул половинного угла аргументы не обязательно должны иметь явный вид 
и 
, главное – чтобы аргумент в правой части формул половинного угла был вдвое больше аргумента в левой части формул. К примеру, формула половинного угла для синуса позволяет записать равенство 
или 
.
отдельного рассмотрения.
Пример№2.
Вычислить соs , если cosα=-0,02 и 0<α<π
Решение:
соs2 = 
=0,49. Так как 0 < α < π, то 0 < 
< 
, поэтому соs >0, таким образом соs = 
= 7
Ответ: соs = 7
Пример№3.
Вычислить tg , если cosα=0,8 и π <α< 2π.
Решение: tg 2 
= 
= 
= 
= 
= 
. Так как π <α< 2π, то 
< < 
, поэтому tg 
< 0, отсюда tg = 
= 
.
Ответ: tg 
= .
Пример№4.
Упростите выражение 
tg 2 
- 
Решение: tg 2 - = tg 2 * 
tg 2 - соs2 =1- соs2 = sin 2
Ответ: sin 2
Пример№5.
Вычислить 2соs2 
- 1= 2 
- 1 = 1+ 
- 1 =
Ответ:
Пример№6.
Вычислить 
+ 2sin 2 150 = +2 
= 
Ответ: 1
Пример№7
Вычислить sin ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.
Решение: sin 2 
= 
sin 2 
= 
= 
= 0,2. Так как 2π <α< 3π, то 
< < 
(3 четверть), значит sin = - 
Ответ: -
Пример№8
Вычислить соs ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.
Решение: соs2 = 
соs2 = 
= 
= 0,8. Так как (3 четверть), то соs = 
Ответ: - 
Пример№9
Вычислить tg ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.
Решение: tg 2 = = 
= 
= 
= 
. Так как (3 четверть), то
tg = 
= 
.
Ответ: 
Пример№10
Вычислить сtg ,если cosα=0,6 и 2π <α< 3π.
|
|
|
Решение: Так как сtg 
, то сtg = 
= 2
Ответ: 2
Пример№11
Упростить выражение: 
Решение: Так как sin 2 
= , то 1- cosα = 2 sin2 , отсюда 
. Пусть 
sin 
соs , тогда получим: 
= 
* 
= 
= tg
Ответ: tg
Пример№12
Упростить выражение: 
Решение: Так как соs2 = 
, то 1+ cosα = 2 соs2 . Пусть так же 
sin соs , тогда получим: 
= 
* 
= 
= tg
Ответ: tg
