Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

РАЗДЕЛ 8. Многогранники и круглые тела

ТЕМА: Цилиндр и конус. Усеченный конус

Цель занятия: сформировать представление о цилиндре и конусе как о телах вращения.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

Теоретический материал для самостоятельного изучения

ЦИЛИНДР

Основные определения

Определение
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, перпендикулярными плоскости, в которой лежит эта окружность.

Определение
Сами прямые называют образующими цилиндрической поверхности.

Определение
Прямая, проходящая через точку О, перпендикулярно к плоскости, называется осью цилиндрической поверхности.

Так как все образующие и ось перпендикулярны плоскости 𝛂, значит, они параллельны друг другу.

Если построить ещё одну плоскость 𝛃, которая будет параллельна плоскости 𝛂, то отрезки образующих, заключённые между плоскостями 𝛂 и 𝛃 будут параллельны и равны друг другу. Точки, являющиеся концами отрезков параллельных прямых и лежащие в плоскости 𝛃, дают окружность, равную окружности, лежащей в плоскости 𝛂.

Определение
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами (границы которых есть те самые равные окружности в плоскостях 𝛂 и 𝛃) называется цилиндром.

Определение
Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключённые между основаниями, - образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковой поверхностью цилиндра.

Определение
Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Определение
Длина образующей называется высотой цилиндра (все образующие равны и параллельны), а радиус основания – радиусом цилиндра.

Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра: S_бок=2𝛑Rh.

То есть площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания цилиндра на его высоту.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. В виде формулы это можно записать так: S_полн=2𝛑R(R+h).

КОНУС

Основные определения

В плоскости 𝛂 построим окружность L с центром в точке О. Проведем прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединим точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Определение
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Определение
Круг называют основанием конуса.

Определение
Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Определение
Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Определение
Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Основные формулы

r – радиус

h – высота

l – образующая

 

 

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

Усеченный конус

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Определение
Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Определение
Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Определение
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Определение
Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L

S_{.полн.пов.ук}=π(rL+RL+r²+R²)

Практические задания

Задание 1. Подпишите элементы цилиндра

Задание 2. Подпишите элементы конуса и усеченного конуса.

 

Задание 3. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.

Задание 4. Вычислить площадь боковой поверхности конуса, радиус основания и высота которого равны соответственно 16 см и 5 см.

Задание 5. Найти площадь боковой и полной поверхности конуса, если радиус основания равен 2 см, а образующая равна 6 см.

Задание 6. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если известно, что длина окружности основания находится по формуле .