Внешние углы выпуклого многоугольника

МНОГОУГОЛЬНИКА»

Сумма углов выпуклого многоугольника

Объяснение

Сегодня особое внимание мы уделим внутренним и внешним углам выпуклого многоугольника. Откройте тетради, запишите тему: «Сумма углов выпуклого многоугольника»

Начертите любой выпуклый n –угольник.

Проведите из одной вершины все диагонали.

На какие фигуры разделился многоугольник?

Сколько треугольников получилось? Треугольник образуется с помощью трех точек. А поэтому треугольников будет на два меньше, чем вершин.

Что вы можете сказать о сумме углов каждого треугольника? (На чертеже поочередно выделяются углы в каждом треугольнике) сумма углов каждого треугольника равна 180º

Если сумма углов 180º, а треугольников n – 2, то как найти сумму всех углов, выделенных на рисунке?

Чем для многоугольника являются выделенные углы? сумма углов всех полученных треугольников является суммой углов многоугольника, и поэтому сумма углов многоугольника будет вычисляться по этой же формуле. Попробуйте сформулировать правило, которое мы только что вывели.

Запишите и запомните теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. А теперь рассмотрим ряд задач, решить которые нам поможет данная теорема.

Закрепление.

Найти сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. Что дано в задаче? Что надо найти?

Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 900º?

Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1000º? надо просто попробовать найти количество углов такого многоугольника, решая задачу аналогично предыдущей.

Что у нас обозначено буквой n? Какие значения может принимать количество углов? Может ли в нашем случае число n быть натуральным? Итак, как выяснить существует ли выпуклый многоугольник с заданной суммой углов?

!!!!!!! Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Задача 4. Сколько сторон имеет правильный пятиугольник, каждый угол которого равен 150º?. Что дано в задаче? Что надо найти?

· Что можно сказать об углах правильного n-угольника? · Сколько их? · Как тогда найти сумму всех углов?

Если же рассматривать данный n-угольник, как любой другой многоугольник, то как еще можно найти сумму углов? Что вы можете сказать о значениях сумм, найденных по одной и второй формул? Вывод: значения равны, а значит, правые части нужно приравнять.

Задача 5. Найти величину угла правильного выпуклого 36-угольника.

Итак, мы выяснили, что сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле………?

И рассмотрели задачи разного типа на применение данной формулы.

ВНЕШНИЕ УГЛЫ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Объяснение

Рассмотрим еще один вид углов любого многоугольника. Кроме внутренних углов можно еще рассмотреть внешние углы.

Рассмотрим все такие углы n- угольника, взятые по одному при каждой вершине, и попробуем найти сумму всех таких углов.

Посмотрите на рисунок, обратите внимание на цвет, и подумайте, что можно вписать на пропущенное место.

Следующая проблема.

А что надо сделать, чтобы остались только внешние углы?

Упростите выражение. Что получится? преобразуйте выражение. Сформулируйте вывод.

Записать теорему в тетрадь

Закрепление.

И попробуем убедиться в необходимости запоминания данной теоремы на примере следующих задач. Задача 1. Чему равна сумма внешних углов выпуклого двенадцатиугольника?

Еще одна задача, для решения которой не придется применять сложных вычислений и решения уравнений: Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если каждый его внешний угол равен 12º?