Вычисление несложных пределов

Теоретический материал, примеры вычисления пределов

Определение

Конечное число A называется пределом функции f (x) в точке x ₀, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x − x ₀| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству | f (x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
   
3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
   
4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
   
5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
   

Вычисление несложных пределов

1. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

 

2. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

или

 

3. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

4. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

5. Найти предел функции

Решение:

 

В данном случае имеем неопределённость вида

Для её раскрытия можно использовать свойство, что существенно упростит вычисление предела, в отличии от примеров 2,3,4, хотя их можно тоже вычислить, используя данное свойство.

 

Пусть дана дробно-рациональная функция

,

где P (x) и Q (x) некоторые многочлены. Тогда:

1. Если степень многочлена P (x) больше степени многочлена Q (x), то
   
2. Если степень многочлена P (x) меньше степени многочлена Q (x), то
   
3. Если степень многочлена P (x) равна степени многочлена Q (x), то
   ,
   где p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x в данных многочленах.

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому

6. Найти предел функции

Решение:

 

В данном случае снова имеем неопределённость вида

Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому

7. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

8. Найти предел функции

Решение:

 

Имеем неопределенность вида

 

Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом

9. Найти предел функции

Решение:

В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

развернуть таблицу

Имеем

, тогда

 

 

Задания для самостоятельной работы

 

Вариант 1	Вариант 2
Найдите предел функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)	Найдите предел функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)