Вычисление площадей плоских фигур

Примеры применения интеграла в геометрии

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

 

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S = S(x), a≤   x≤  b

Применим схему II (метод дифференциала).

 

1. Через произвольную точку x  [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой  

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

2. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,

S(x)= y .

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

V  = y dx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен

V = x dy.

Пример: Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2  вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V = x dy.

 находим:

V  = 2ydy = y  = 8 .

Вычисление площадей плоских фигур

 

Пусть функция f (х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f (х)≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

 или

                                         

Если, наконец, кривая y=f (х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.

 

Ðèñ 9

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох.

Решение. Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь

S =

Ðèñ 10

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии  (рис 10). [1]

Решение. Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [ ; 2 ]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы

 

 

 и  , имеем, что искомая площадь

ì