Логарифмическая функция

1 2

Содержание.

Введение

1. Логорифмы

1.1. История возникновения логарифмов

1.2. Свойства логарифма

1.3. Натуральные логарифмы

1.4. Десятичные логарифмы

1.5. Логарифмическая функция

2. Комплексный логарифм

2.1. Риманова поверхность

2.2. Логарифмические таблицы

Заключение

Список использованных источников

Введение.

В этом реферате хочу рассказать об таком великом открытии в математике, как логарифм. Когда не было вычислительной техники, сложные вычисления отнимали много времени и сил. Неизбежны были и ошибки. И ученные путем проб и ошибок нашли решение этой проблемы.

Виды логарифмов.

1.1. История возникновения логарифмов

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу).Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n.В предисловии к книге «Рабдология» Непер писал:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Сам термин «ЛОГАРИФМ» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число),которое означало “число отношений”.

Логарифмы с основанием ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln. Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Неперопубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1’. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Свойства логарифма.

Свойства логарифмов. Десятичный логарифм. Натуральный логарифм.

Логарифмом положительного числа N по основанию (b > 0, b

1) называется показатель степени x, в которую нужно возвести b, чтобы получить N. Обозначение логарифма:

Эта запись равнозначна следующей: bx = N. П р и м е р ы: log 81 = 4, так как 34 = 81; log 27 = – 3, так как (1/3) -3 = 33 = 27. Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

Основные свойства логарифмов. 1) log b = 1, так как b 1 = b. 2) log 1 = 0, так как b 0 = 1. 3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: log (ab) = log a + log b. 4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: log (a / b) = log a – log b. 5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания: log (b k) = k · log b. Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

7) Формула модуля перехода (т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию):

В частном случае при N = a имеем:

1.3. Натуральные логарифмы. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln, т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n) n при неограниченном возрастании n (см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы"). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Графики логарифмических функций.

Логарифм числа b по основанию a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Пример: , потому что .

Десятичный логарифм.

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg, т.е. log 10 N = lg N. Логарифмы чисел 10, 100, 1000,... pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001,... pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Логарифм вещественного числа logab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Десятичные: , основание: число 10.

Натуральные: , основание: e (число Эйлера).

Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).