Приведём другое решение

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

12. Найдите наименьшее значение функции

Решение.

Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке в нашем случае — в точке −1. Значение функции в этой точке равно

Ответ: 16.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Заметим, что уравнение определено при любом Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо откуда или либо , откуда или

б) Поскольку отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

14. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS ₁, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL: LD = 7: 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S ₁ LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение.

а) Проведём медиану S ₁ M треугольника SS ₁ B, которая пересекает прямую BB ₁, являющуюся одновременно медианой треугольника SS₁B и основания BCD, в точке T. Тогда ВТ: ТВ ₁ = 4: 5.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B ₁ D в отношении DL: LВ ₁ = 4: 5, так как LD: LC = 2: 7 и отрезок BB ₁ — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

Ответ: 5,75.

15. Решите неравенство

Решение.

Преобразуем неравенство

Заметим, что на ОДЗ знак разности совпадает со знаком дроби Поэтому, сделав замену переменной получаем:

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

16. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8 MB и DN = 2 CN.

а) Докажите, что AD = 4 BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

Решение.

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8 x, DN = 2 y.

откуда y = 2 x. Получаем: BK = BM = x, AL = AM = 8 x, CK = CN = 2 x, DL = DN = 4 x, BC = BK + KC = 3 x, AD = AL + LD = 12 x, то есть AD = 4 BC.

б) Заметим, что поэтому

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4 BP, AB = 3 BP, BP = 3 x, PN = PM = 4 x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем: