Атомная масса элементарных частиц и некоторых изотопов, а.е.м

Семинар 23. Физика атома и ядра

Цель семинара: познакомить учащихся с планетарной моделью строения атома водорода, квантовыми постулатами Бора и объяснить причины излучения света. Объяснить строение атомного ядра, познакомиться с явлением естественной радиоактивности и законом радиоактивного распада, научиться записывать и рассчитывать ядерные реакции, дефект масс и энергетический выход ядерных реакций.

1. Основные понятия и соотношения:

Атомная физика

Планетарная модель атома Резерфорда –Бора: Согласно этой модели, атом представляет собой положительное ядро, вокруг которого по круговым орбитам равномерно вращаются электроны, причем энергия электронов и радиусы их орбит меняются дискретно.

1-й постулат Бора: атом может находиться только в строго определенных состояниях (стационарных), в которых не происходит излучения света. Радиус орбит, на которых находится электрон, определяется условием квантования: , где n – главное квантовое число, определяющее номер орбиты (),  – постоянная Планка «с чертой». Энергия электрона при этом не меняется, что противоречит электродинамике Максвелла, согласно которой ускоренно движущийся заряд должен излучать электромагнитные волны и терять энергию.

2-й постулат Бора: при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией  в другое с энергией  излучается или поглощается квант света, частота которого определяется уравнением: , где n и m – квантовые числа, определяющие начальный и конечный номер орбиты; h = 6,6·10^-34 Дж·с – постоянная Планка. В состоянии с энергией  атом может находиться сколь угодно долго – основном состоянии. Все остальные стационарные состояния называют возбужденными. Таким образом, причина излучения (поглощения) света – переход электрона с одной орбиты на другую.

Для движущегося по окружности (орбите) электрона 2-й закон Ньютона выглядит так:  или . Используя условие квантования, можно вычислить радиусы орбит, скорость электрона на n -й орбите, период обращения электрона вокруг атома. Закон сохранения энергии позволяет рассчитать энергии стационарных уровней, и как следствие, получить выражение для спектра излучения атома водорода.

Скорость электрона на n -й орбите: .      Радиус n -й орбиты: .

Энергия n -ого стационарного состояния: .

Энергия 1-го энергетического состояния = -13,6 эВ, а возбужденных состояний .

Энергия ионизации атома водорода. Ионизацией атома называется отрыв электрона от нейтрального атома, то есть переход его на бесконечно удаленную орбиту, на которой силы взаимодействия электрона с ядром пренебрежимо малы. Энергию, необходимую для ионизации атома, находящегося в невозбужденном состоянии, определяют согласно 2-му постулату Бора:             = 13,6 Эв = 2,18·10^-18 Дж.

Спектр атома водорода. Длину волны (частоту) испускаемых или поглощаемых атомом фотонов можно определить, воспользовавшись 2-м постулатом Бора:

,    , где R = = 1,097·10 ⁷ м^-1 – постоянная Ридберга. Данная формула верна только для атомарного газа водорода.

Процесс перехода атома из одного состояния в другое иллюстрируют энергетической диаграммой (рис.1), на которой показывают энергетические уровни, а стрелками – переход с одного уровня на другой. Переход в состояние с меньшей энергией сопровождается излучением кванта света (1), поглощение кванта приводит к возбуждению атома (2) – переход в состояние с большей энергией. Следует помнить о том, что атом может поглотить или испустить только такой квант, энергия которого точно равна разнице энергий состояний. При поглощении кванта с энергией больше энергии первого уровня  происходит ионизация атома.

Серии спектра атома водорода. Спектр атома водорода обычно разделяют на серии. Серия – это совокупность всех спектральных линий, получаемых при переходе электрона на какую-либо орбиту. Серия Лаймана состоит из линий, полученных при переходе на 1-ю орбиту (, , частоты фотонов находятся в ультрафиолетовой области).
Серия Бальмера: , , видимая часть спектра. Серия Пашена: , инфракрасная часть спектра (рис. 2 и 3).

Теория Бора точно описывает атом водорода, однако она дает неверные количественные результаты уже для гелия, следующего после водорода элемента в таблице Менделеева. Эта теория является переходной от классической механики к квантовой.

Ядерная физика

Строение атомного ядра. Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов (нуклонов). Поскольку, массы протона и нейтрона примерно в 1000 раз больше массы электрона, практически вся масса атома сосредоточена в его ядре. Атомное ядро обозначают символом соответствующего химического элемента с двумя индексами: верхний индекс – это массовое число A или масса ядра в атомных единицах массы (1 а.е.м. = 1,66·10^-27 кг), то есть число нуклонов в ядре, нижний индекс – зарядовое число Z (порядковый номер в таблице Менделеева) или заряд ядра в элементарных зарядах, равное числу протонов в ядре: , к примеру, ядро изотопа урана – урана-235 обозначают как . Аналогично обозначают и различные частицы, участвующие в ядерных реакциях: протон – , нейтрон – , α-частица (ядро атома гелия)– , b-частица (электрон)– .

Радиоактивностью называют самопроизвольное превращение ядер одного нестабильного элемента в ядра другого элемента, сопровождающееся испусканием частиц, а также жесткого электромагнитного гамма (g) излучения. Различают 2 вида распада: α-распад, при котором испускаются α-частицы – ядра атомов гелия, и β-распад, при котором испускаются β-частицы – электроны. В результате α-распада ядро атома теряет 2 протона и 2 нейтрона, зарядовое число образовавшегося атома будет на 2 единицы меньше, чем у исходного, а массовое число – на 4 единицы меньше: . При β-распаде нейтрон в ядре превращается в протон и электрон. Масса электрона очень мала по сравнению с массой протона, поэтому при β-распаде массовое число не изменяется, а зарядовое число увеличивается на 1: . Эти правила, по которым определяется смещение элементов в периодической таблице, вызванное распадом, называют правилами смещения.

Закон радиоактивного распада. При распаде число атомов исходного вещества уменьшается, количество N оставшихся атомов спустя время t от начала наблюдения , где – первоначальное количество атомов, T – период полураспада, время, за которое распадается примерно половина начального числа атомов радиоактивного вещества. Закон радиоактивного распада статистический, т.е. верен только для очень больших N.

Ядерные силы. Энергия связи. Дефект масс. Связь массы и энергии. При исследовании строения ядер атомов было обнаружено, что масса ядра в целом меньше суммы составляющих его частиц. Разницу масс отдельных нуклонов, из которых состоит ядро, и массы ядра называют дефектом масс: , где  и  массы покоя протона и нейтрона,  - масса ядра. Величина дефекта масс для различных ядер составляет примерно десятые доли а.е.м. Энергия, которая, согласно формуле Эйнштейна, соответствует дефекту масс, называют энергией связи ядра и определяют по формуле: . Таким образом, в ядре действуют ядерные силы (сильные взаимодействия), которые невероятно сильно притягивают частицы на очень маленьких расстояниях, удерживая ядро от распада под действием сил кулоновского отталкивания, возникающими между протонами.

Фактически, энергия связи равна работе против ядерных сил, которую надо совершить, чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны или равна энергии, которая выделяется при создании ядра из отдельных нуклонов. Также используют понятие удельной энергии связи – энергии связи, приходящейся на один нуклон: .

Дефект массы можно выразить в килограммах, атомных единицах массы (а.е.м.) или в их энергетических эквивалентах, например 1 а.е.м. = 931,5 МеВ.

Ядерные реакции. Ядерной реакцией принято считать взаимодействие ядра A с частицей b, в результате которого образуется новое ядро C и новая частица d. В ядерных реакциях выполняются законы сохранения импульса и энергии, а также законы сохранения массового и зарядового числа. Сумма массовых и зарядовых чисел до и после взаимодействия остаются неизменными: , . Уравнение таких реакций принято записывать в виде .

Если суммарная масса начальных участников реакции больше, чем суммарная масса продуктов реакции, то в результате происходит выделение энергии. В противном случае, для проведения реакции энергию необходимо затратить. Выходом ядерной реакции называют энергию, освобождающуюся при ядерной реакции. Обычно в результате ядерной реакции может выделиться энергия от единиц до сотен МэВ. Следует помнить о том, что энергия в ядерных реакциях выделяется в виде кинетических энергий продуктов реакции. Для ее нахождения необходимо вычислять дефект масс: разность сумм масс покоя начальных и конечных участников реакции, т.е. .

 

 

Атомная масса элементарных частиц и некоторых изотопов, а.е.м.

Частица	Масса	Изотоп	Масса	Изотоп	Масса
электрон	0,00055	гелий	4,00150	углерод	11,99670
протон	1,00728	литий	6,01348	азот	13,99922
нейтрон	1,00866	литий	7,00895	азот	14,99626
дейтерий	2,01355	бериллий	8,00311	кислород	15,99051
тритий	3,01550	бор	10,01019	кислород	16,99473
гелий	3,01492	бор	11,00656	алюминий	26,97431

2. Базовые задачи:

1. Рассчитайте длины волн в спектре атома водорода, соответствующие сериям Лаймана (n = 1, m = 2, 3, УФ), Бальмера (n =2, m = 3, 4, 5, 6 видимая часть спектра) и Пашена (n =3, m = 4, 5, ИК), используя постоянную Ридберга. Сравните полученные данные с рис. 3.

2. Какую силу тока создает движущийся электрон в атоме водорода, если атом находится в невозбужденном состоянии?

Решение:

Сила тока, которую создает электрон в атоме водорода равна , где Т – период обращения по орбите. Согласно планетарной модели атома радиус первой орбиты, соответствующей невозбужденному состоянию, и скорость электрона на ней равны = 2,2·10⁶ м/с и = 5,27·10^{-11 м. Время, за которое электрон совершает один оборот, равно = 1,5}·10^-16 с. Таким образом, I = 1,06 мА.

3. При переходе во второе состояние покоящийся атом водорода приобрел скорость 0,814 м/с. Определите длину волны излученного кванта света и номер орбиты, на которой находился электрон в возбужденном состоянии.

Решение:

Согласно закону сохранения импульса для системы «фотон + атом», запишем , где  – импульс фотона, а М = 1,67·10^{-27 кг – масса атома водорода. Таким образом, длина волны излученного фотона равна = 485 нм.}

Номер орбиты, с которой совершал переход электрон, можно определить либо с помощью постоянной Ридберга – , либо используя значение энергии ионизации атома водорода  = 13,6 эВ = 2,18·10^-18 Дж – . В любом случае, независимо от выбранного подхода, расчеты приводят к результату n = 4.

4. Определить длину волны g-кванта, излучаемого в результате синтеза ядер трития при облучении нейтронами ядер дейтерия.

Решение:

Уравнение происходящей ядерной реакции имеет вид . Для нахождения энергии, выделяющейся в результате реакции, необходимо рассчитать дефект масс:

 = 0,0067 а.е.м. Энергия, соответствующая этой массе, равна  = 6,25 МэВ. Следовательно, длина волны g-кванта  = 2·10^{-13 м}.

5. Определить полезную мощность атомной электростанции, расходующую в сутки уран-235 массой m = 220 г, если ее коэффициент полезного действия равен 20%. При делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Е ₀ = 200 МэВ. Сколько угля в сутки необходимо сжечь на тепловой электростанции, чтобы при таком же КПД получить такую же полезную мощность? Удельная теплота сгорания угля равна q = 29 МДж/кг.

Решение:

КПД электростанции определяется как , где полезная работа связана с искомой мощностью , а выделившаяся энергия равна . Количество распавшихся атомов урана определяем из формулы , где = 0,235 кг/моль – молярная масса урана-235. Таким образом, получаем  = 52 МВт. Чтобы полезные мощности атомной и тепловой электростанции были равны, при сжигании угля должно выделяться столько же энергии, как и в результате распада урана: . Следовательно, масса угля, которую необходимо сжигать за сутки, равна  = 28,8 т!!!

6. Ампулу с m = 2,1 г -радиоактивного полония ²¹⁰₈₄Po помещают в теплоизолированный контейнер, в котором находится M = 100 кг воды. На сколько градусов возрастет температура воды за одни сутки, если период полураспада полония равен Т = 140 суток. Теплоемкостью контейнера пренебречь. Массы атомов полония, свинца и гелия равны соответственно m ₁ = 209,98283 а.е.м., m ₂ = 205,97446 а.е.м., m ₃ = 4,00260 а.е.м.

Решение:

В результате -распада одного ядра полония  выделяется энергия , где дефект масс  = 5,77·10^-3 а.е.м. Следовательно,   5,38 МэВ = 8,6·10^-13 Дж. Начальное число атомов полония равно  = 6·10²¹, асогласно закону радиоактивного распада , число распавшихся атомов полония за сутки равно  = 3·10¹⁹. Таким образом, за сутки в результате распада полония выделяется энергия  = 2,58·10¹⁹ Дж, которая расходуется на нагревание воды . В результате, вода в контейнере нагревается на = 61^оС.