Теоретический материал для самостоятельного изучения

Консультация по теме «Решение задач с помощью систем уравнений».

Тезаурус:

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Решить систему – это значит найти все её решения.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения или системы уравнений и последующего решения уравнения или системы.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу. Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Мы не знаем, сколько овец у Ивана, и сколько у Петра.

Обозначим за х число овец у Ивана, а за у – число овец у Петра.

Мысленно разделим условие задачи на две независимые части:

1. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя! «

2. А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Для каждой из частей составим уравнение с двумя неизвестными.

Начнем с первой части.

Если бы Пётр отдал Ивану одну овцу, то у Петра осталось бы (у – 1) овец.

А у Ивана стало бы (х + 1) овец.

Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра.

 

Мы составили два уравнения.

И в первом и во втором уравнении х обозначает число овец у Ивана, а у – число овец у Петра. Другими словами, каждое неизвестное число обозначает одно и то же в обоих уравнениях. Значит, эти уравнения можно рассматривать совместно, то есть объединить их в систему уравнений:

Решим эту систему способом подстановки.

Раскроем скобки в правой части первого уравнения.

Выразим х через у.

Подставим (2у – 3) вместо х во второе уравнение системы. Получим уравнение с одним неизвестным у.

Решим его. Упростим левую часть уравнения.

Перенесем неизвестные в левую часть. уравнения, а числа – в правую. Подставим у = 5 в первое уравнение. Получим х = 7.  Система имеет единственное решение: х = 7, у = 5.

Вернемся к исходным обозначениям. Получаем, что у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец. Таким образом, мы решили задачу при помощи системы уравнений первой степени. Задачи с помощью системы уравнений можно решать по следующей схеме. Сначала вводим обозначения неизвестных. Мысленно разделив условие задачи на две части, составляем 2 уравнения и объединяем их в систему. Решаем полученную систему уравнений. Возвращаемся к условию задачи и использованным обозначениям. Отбираем решения и записываем ответ.

Задание: Параграф 45.