III. Актуализация опорных знаний. Устная работа

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Производная функции».

Задачи:

Образовательная: обобщить и систематизировать изученный материал по теме «Производная функции».

.

Воспитательная: воспитание устойчивого интереса к изучению математики через применение различных видов деятельности на уроке, толерантности, культуры речи, уверенности в себе, ответственности за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель. Добрый день, друзья! Рада вас видеть. Я желаю вам сегодня на уроке удачи, точных расчетов и вычислений, новых открытий.

II. Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели урока.

Учитель.  Девизом нашего урока будут следующие слова: «Я знаю, что я умею делать. Я знаю, как это сделать», а эпиграфом к уроку я взяла замечательные строки поэта А. Поупа:

 «Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон».

Учитель. Догадались, почему?

Ответ. Великий английский физик, математик и астроном Исаак Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Учитель. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с производными функций, вспомним и обобщим все те знания, которые вы получили на предыдущих уроках.

Учитель. Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока?

Ответ. Повторить теоретический материал темы «Производная», проверить свои знания при решении задач.

III. Актуализация опорных знаний. Устная работа

Учитель. Для того, чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

Задание 1. Ответьте на вопросы.

Вопрос. Что называется производной функции f (х)в точке х₀?

Ответ. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение  такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции  (при переходе от точки  к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции  в точке и обозначают .

Вопрос. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного.

Ответ. 1) Производная суммы равна сумме производных.

2) Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

3) Производная частного двух функций равна производной первой функции умноженной на вторую функцию минус произведение первой функции на производную второй, деленное на квадрат второй функции.

Вопрос. Назовите производные элементарных функций

Вопрос. В чем заключается механический смысл производной?

Ответ. Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s = s (t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v (t) = s ΄(t).

Вопрос. В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ. Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику у = f (x) в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ΄ (a) выражает угловой коэффициент касательной: k = f ΄(a).

Задание 2. Укажите, для какой из функций

функция  является производной.

Ответ: f(x)= 4,5 x ² – sin x

Задание 3. Найти производную функции.

Примечание. На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.

Функция	Подсказка	Ответ
1) у =	y = x 4 – x 3	y ΄ = 4 x 3 – 3 x 2
2) y = (x 2 + 1)(x 2 – 1)	y = x 4 – 1	y ΄ = 4 x 3
3) y =		y΄ =
4) y = cos 2 x + sin 2 x	y = 1	y ΄ = 0
5) y = cos 2 x – sin 2 x	y = cos 2 x	y΄ = - 2 sin 2 x
6) y = (x – 2)(x 2 + 2 x + 4)	y = x 3 – 8	y΄ = 3 x 2
7) y =	y =	y΄ =

Задание 4. Найдите скорость изменения функции h (x) = 4 x ³ – x ² в х ₀ = 0.

Ответ: v (0) = 0.

(Задания 1 – 4  оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист).

IV. Решение задач

1. Составь пару.

Объяснение задания. В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток.

Например: (х ⁵)΄ = 5 х ⁴ ,следовательно, ответ:1 – 9 и т.д.

1. х 5	4. 1	7.	10.–3 х -4	13.– sin x	16.
2. х	5. 2	8. sin x	11.	14.–	17. 0
3.2 х	6. х 2	9. 5 x 4	12. – 3	15. cos х	18. 12 x -5

Ответы: 1–9; 2–4; 3–5; 4–17; 5–17; 6–3; 7–16; 8–15; 10–18; 11–14; 12–17;     13–15.

 

Задания для 1 группы

Задания для 2 группы

1. Найдите производную функции: а) y = x 6 – 13 x 4 + 11; (1б) б) y = x 3 + sin x. (1б)   2. Найдите значение производной функции y = 12 cos x в точке x0 = – . (2б) 3. Найдите точки, в которых значение производной функции                                               y =  х 3 – 6 x 2 + 27 x – 21 равно 0. (2б) 4. Дополнительное задание. Найдите скорость изменения функции                y = x sinx в точке х0 =  . (2б)

1. Найдите производную функции: а) ; (1б) б) . (1б) 2. Найдите значение производной функции  в точке . (2б) 3. Найдите точки, в которых значение производной функции   равно . (2б) 4. Дополнительное задание. Найдите скорость изменения функции  в точке х0 = 1. (2б)

Задание 1. Найдите производную функции  в точке               х₀ = 0.

Учитель. Что известно по условию задачи?

Ответ. Функция.

Вопрос. Каков способ задания функции?

Ответ. Формулой.

Вопрос. Что известно ещё?

Ответ. Точка с абсциссой х₀.

Вопрос. Что нужно найти?

Ответ. Найти производную функции в точке х_0.

Вопрос. Как найти производную функции в точке х₀.

Ответ. 1. Найти f ΄(x). 2. Найти значение производной в точке f ΄(х₀).

Решение. 1. у ΄ = (3 х ⁴ + 4 х ³ + 5 х ² + 8 х)΄ = 12 х ³ + 12 х ² + 10 х + 8.

2. у ΄(0) = 12·0³ + 12·0² + 10·0 + 8 = 8

Ответ: 8

Задание 2. Найдите производную функции: а) .

Вопрос. Что известно по условию задачи?

Ответ. Функция.

Вопрос. Каков способ задания функции?

Ответ. Формулой.

Вопрос. Что требуется найти?

Ответ. Производную данной функции.

Вопрос. Как найти производную данной функции?

Ответ. По правилу дифференцирования частного.

Решение. у΄ = ()΄ =  =  =  = .

1. Найдите производную функции  в точке х0 = 0 2. Найдите производную функции: а) ; б) в) ;

 

.

Учитель. Ребята давай оценим нашу работу на уроке.

1. Какова цель нашего урока? Достигли ли мы цели?

2. Продолжите фразу:

• «Сегодня на уроке я узнал…»

• «Сегодня на уроке я научился…»

• «Сегодня на уроке я познакомился…»

• «Сегодня на уроке я повторил…»

• «Сегодня на уроке я закрепил…»

Учитель. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже. Покажите свои рисунки.

Учитель. Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю солнце).

Вопрос. А какое настроение у вас?

Учитель. В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей».

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!