2020-05-21
82
Тема: Дифференциальные уравнения (дифуры)
Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида F(x, y, y´, y´´, … y(n)), где F – некоторая функция, х – независимая переменная, y(x) – функция, которую требуется найти, y´ – первая производная этой функции, и так далее.
Порядок уравнения – порядок старшей из входящих в него производных.
Дифференциальным уравнением в нормальной форме называется уравнение вида
y(n) = f (x, y, y´, y´´, … y(n - 1)).
Такое уравнение разрешимо относительно старшей производной.
Пример:
1. y´ − (2xy´) – ln y´ = 0 – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
2. y´´´ = 
– обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка в нормальной форме;
3. 
– уравнение второго порядка в частных производных.
Решить самостоятельно. Определить порядок дифференциального уравнения:
1) y(4) – 2y´ + 4 = 0;
2) y´´ + xy´ – x2 = 0;
3) y´ – x2y = 0.
Определение: Решение дифференциального уравнения – всякая функция y(x), непрерывная и дифференцируемая на промежутке (a, b), которая обращает уравнение в верное равенство.
Всякому решению на плоскости соответствует кривая, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решить самостоятельно.
1) Доказать, что решением дифференциального уравнения y´´´ = 
является функция y = − sin x + 2x + C.
2) Доказать, что функция y = 
является решением дифференциального уравнения y´´´ − 3y´ − 18y = 0.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется решение вида y = φ(x, C1, C2, …, Cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1, C2, …, Cn, каков порядок этого уравнения.
Общее решение, заданное в неявной форме Φ(x, y, C1, C2, …, Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения.
Начальные условия – дополнительные условия, которые позволяют рассчитать C1, C2, …, Cn. Дополнительные условия – это значения функции и ее производных в конкретной точке (x0, y0).
Нахождение решения y = φ(x), удовлетворяющего начальным условиям, называется решением задачи Коши для заданных начальных условий. Решение задачи Коши для заданных начальных условий называется частным решением дифференциального уравнения.
