2020-05-21
82
Тема: Дифференциальные уравнения (дифуры)
Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида F(x, y, y´, y´´, … y(n)), где F – некоторая функция, х – независимая переменная, y(x) – функция, которую требуется найти, y´ – первая производная этой функции, и так далее.
Порядок уравнения – порядок старшей из входящих в него производных.
Дифференциальным уравнением в нормальной форме называется уравнение вида
y(n) = f (x, y, y´, y´´, … y(n - 1)).
Такое уравнение разрешимо относительно старшей производной.
Пример:
1. y´ − (2xy´) – ln y´ = 0 – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
2. y´´´ = 
– обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка в нормальной форме;
3. 
– уравнение второго порядка в частных производных.
Решить самостоятельно. Определить порядок дифференциального уравнения:
1) y(4) – 2y´ + 4 = 0;
2) y´´ + xy´ – x2 = 0;
3) y´ – x2y = 0.
Определение: Решение дифференциального уравнения – всякая функция y(x), непрерывная и дифференцируемая на промежутке (a, b), которая обращает уравнение в верное равенство.
|
|
|
Всякому решению на плоскости соответствует кривая, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решить самостоятельно.
1) Доказать, что решением дифференциального уравнения y´´´ = 
является функция y = − sin x + 2x + C.
2) Доказать, что функция y = 
является решением дифференциального уравнения y´´´ − 3y´ − 18y = 0.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется решение вида y = φ(x, C1, C2, …, Cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1, C2, …, Cn, каков порядок этого уравнения.
Общее решение, заданное в неявной форме Φ(x, y, C1, C2, …, Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения.
Начальные условия – дополнительные условия, которые позволяют рассчитать C1, C2, …, Cn. Дополнительные условия – это значения функции и ее производных в конкретной точке (x0, y0).
Нахождение решения y = φ(x), удовлетворяющего начальным условиям, называется решением задачи Коши для заданных начальных условий. Решение задачи Коши для заданных начальных условий называется частным решением дифференциального уравнения.
