Задача 1. Как рассчитать энергию связи?

Задача 1. Период полураспада изотопа свинца составляет 3,3 часа. В лаборатории начали наблюдать за образцом, когда он содержал 10 мг . Какая масса распадется за 9,9 часа?

Анализ условия. В задаче описан радиоактивный распад, указан период полураспада, так что будем использовать закон радиоактивного распада. Заметим, что этот закон позволяет найти, сколько ядер осталось, а нам нужно найти, сколько распалось. Это сделать просто, от известного начального количества нужно отнять то, что осталось:

Запишем:

В задаче речь идет не о количестве атомов, а о массе вещества. Как эти величины связаны? Если массу одного атома (или массу ядра, что почти одно и то же) умножить на количество атомов, получим массу всего вещества. Поэтому умножим обе части уравнения на и получим:

А массу распавшихся ядер мы уже записали:

Осталась математическая часть решения, подставим из первого уравнения во второе и запишем:

Вычислим:

Задача решена.

Здесь мы даже не переводили массу и время в СИ: время t в 3 раза больше, чем период полураспада, в каких величинах ни выражай, так как у нас отношение. А массу мы умножили на долю от целого, и получили ответ в миллиграммах.

Сколько энергии выделяется при распаде ядра? Если мы собрались использовать ядерные реакции как источник энергии, это нужно уметь вычислять.

Рассчитывать эту энергию через работу сил очень сложно: в атомном ядре много протонов и нейтронов, которые сложным образом между собой взаимодействуют. При этом нужно учесть не только электростатическое взаимодействие, которое мы умеем рассчитывать, но и сильное взаимодействие, для которого мы четкую модель не рассматривали.

Есть более простой способ. Оказывается, энергия может переходить не только из одного вида энергии в другой, но и в массу. Эту удивительную закономерность в рамках теории относительности вывел Альберт Эйнштейн и записал ее в виде формулы:

Теорию относительности мы более подробно рассмотрим в старших классах, а сейчас нам достаточно того, что согласно этой формуле изменение энергии можно связать с изменением массы:

Обратите внимание: с – это скорость света, она равна , к тому же она возводится в квадрат. Поэтому привычные нам энергии в несколько Дж или кДж соответствуют изменениям массы в миллиардные доли микрограмма, мы такие изменения не замечаем. Но при ядерных реакциях выделяются и поглощаются такие энергии, что изменение массы становится заметным по сравнению с массой ядра. То есть масса ядра меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов, из которых он состоит. Это отличие назвали дефектом масс:

Мы записали разность масс ядра и отдельных нуклонов, через эту разность масс можно рассчитать энергию, которая требуется, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны. Эту энергию назвали энергией связи.

Если нас не интересует полный распад ядра на отдельные нуклоны, а, например, мы рассматриваем альфа-распад, то нужно искать дефект масс между исходным ядром и частицами, на которые оно распалось: альфа-частицей и новообразованным ядром.